円周上の掛け算

点が10個で2倍のとき、0から9までの各点がどこへ行くかを書き出しましょう。

0→0、1→2、2→4、3→6、4→8、5→0、6→2、7→4、8→6、9→8。

10本の線を描きましょう。線が2本やってくるのはどの点ですか？

2、4、6、8には2本ずつ来ます。たとえば1と6はどちらも2へ行きます。0は自分自身へ行くので、点0には5からの1本だけが来ます。

点が200個で2倍のとき、点150と点199はどこへ行きますか？

300 − 200 = 100、そして 398 − 200 = 198。

点が200個のとき、2倍で自分自身へ行くのはどの点ですか？3倍では？

2倍では点0だけです。2n = n には n = 0 が必要だからです。3倍では点0と点100です。2nが0か200でなければならないからです。

2倍、3倍、4倍では、尖点はそれぞれいくつですか？

1、2、3。カージオイド、ネフロイド、尖点が3つの曲線で、いつも k − 1 個です。

点が200個のとき、101倍ではどの偶数の点も自分自身へ、どの奇数の点も真向かいへ送られることを示しましょう。

101n = 100n + n。nが偶数なら100nは200の倍数なので、点はnのままです。nが奇数なら100nは余り100を残すので、点は n + 100、つまり半周先になります。

点が200個のとき、201倍では何が描かれますか？それはなぜですか？

何も描かれません。201n = 200n + n なので、どの点も自分自身へ行き、どの線も長さがゼロになるからです。