Les tables de multiplication sur un cercle

Avec 10 points et fois 2, écris où va chaque point de 0 à 9.

0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.

Trace les dix lignes. Quels points reçoivent deux lignes ?

2, 4, 6 et 8 reçoivent chacun deux lignes : par exemple, 1 et 6 vont tous les deux à 2. Le point 0 en reçoit une, venant de 5, car 0 va sur lui-même.

Avec 200 points et fois 2, où vont les points 150 et 199 ?

300 − 200 = 100, et 398 − 200 = 198.

Avec 200 points, quels points vont sur eux-mêmes avec fois 2 ? Avec fois 3 ?

Fois 2 : seulement le point 0, car 2n = n impose n = 0. Fois 3 : les points 0 et 100, car 2n doit valoir 0 ou 200.

Combien de points de rebroussement donnent fois 2, fois 3 et fois 4 ?

1, 2 et 3 : la cardioïde, la néphroïde et une courbe à trois points de rebroussement, toujours k − 1.

Avec 200 points, montre que fois 101 envoie chaque point pair sur lui-même et chaque point impair de l’autre côté du cercle.

101n = 100n + n. Pour n pair, 100n est un multiple de 200, donc le point reste n. Pour n impair, 100n laisse un reste de 100, donc le point est n + 100 : à mi-tour.

Avec 200 points, que dessine fois 201, et pourquoi ?

Rien : 201n = 200n + n, donc chaque point va sur lui-même et chaque ligne a une longueur nulle.