Das Einmaleins auf dem Kreis

Gib bei 10 Punkten und mal 2 an, wohin jeder Punkt von 0 bis 9 geht.

0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.

Zeichne die zehn Linien. Bei welchen Punkten kommen zwei Linien an?

Bei 2, 4, 6 und 8 kommen jeweils zwei Linien an: Zum Beispiel gehen 1 und 6 beide zu 2. Punkt 0 bekommt eine, von 5, da 0 auf sich selbst geht.

Wohin gehen bei 200 Punkten und mal 2 die Punkte 150 und 199?

300 − 200 = 100 und 398 − 200 = 198.

Welche Punkte gehen bei 200 Punkten unter mal 2 auf sich selbst? Unter mal 3?

Mal 2: nur Punkt 0, da 2n = n nur für n = 0 gilt. Mal 3: die Punkte 0 und 100, da 2n gleich 0 oder 200 sein muss.

Wie viele Spitzen ergeben mal 2, mal 3 und mal 4?

1, 2 und 3: die Kardioide, die Nephroide und eine Kurve mit drei Spitzen, immer k − 1.

Zeige, dass mal 101 bei 200 Punkten jeden geraden Punkt auf sich selbst schickt und jeden ungeraden auf die gegenüberliegende Seite.

101n = 100n + n. Für gerades n ist 100n ein Vielfaches von 200, also bleibt der Punkt n. Für ungerades n lässt 100n den Rest 100, also ist der Punkt n + 100: eine halbe Runde weiter.

Was zeichnet mal 201 bei 200 Punkten, und warum?

Nichts: 201n = 200n + n, also geht jeder Punkt auf sich selbst, und jede Linie hat die Länge null.