A tabuada num círculo

Com 10 pontos e vezes 2, indique para onde vai cada ponto de 0 a 9.

0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.

Desenhe as dez linhas. A que pontos chegam duas linhas?

Ao 2, ao 4, ao 6 e ao 8 chegam duas linhas cada: por exemplo, o 1 e o 6 vão ambos para o 2. Ao ponto 0 chega uma, vinda do 5, porque o 0 vai para si mesmo.

Com 200 pontos e vezes 2, para onde vão os pontos 150 e 199?

300 − 200 = 100, e 398 − 200 = 198.

Com 200 pontos, que pontos vão para si mesmos com vezes 2? E com vezes 3?

Vezes 2: só o ponto 0, porque 2n = n exige n = 0. Vezes 3: os pontos 0 e 100, porque 2n tem de ser 0 ou 200.

Quantas cúspides dão vezes 2, vezes 3 e vezes 4?

1, 2 e 3: a cardioide, a nefroide e uma curva com três cúspides, sempre k − 1.

Com 200 pontos, mostre que vezes 101 envia cada ponto par para si mesmo e cada ponto ímpar para o lado oposto.

101n = 100n + n. Para n par, 100n é um múltiplo de 200, por isso o ponto continua a ser n. Para n ímpar, 100n deixa resto 100, por isso o ponto é n + 100: a meia volta.

Com 200 pontos, o que desenha vezes 201, e por que razão?

Nada: 201n = 200n + n, por isso cada ponto vai para si mesmo e cada linha tem comprimento zero.