A tabuada num círculo
Objetivos
- Calcular com restos (aritmética modular).
- Desenhar uma cardioide como envolvente de linhas retas.
- Relacionar o multiplicador com o número de cúspides.
Antes do filme: prever
Dez pontos num círculo estão numerados de 0 a 9. Cada ponto n é ligado ao ponto 2n, e depois do 9 a contagem volta ao 0. A que ponto se liga o 7?
O filme
One Multiplication Rule Draws Every Shape — 200 Dots on a Circle · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/one-multiplication-rule-draws-every-shape
A aula, minuto a minuto
| 5 min | Prever no quadro com dez pontos; concluir em conjunto que o 7 se liga ao 4, porque 14 − 10 = 4. |
|---|---|
| 3 min | Ver o filme “One Multiplication Rule Draws Every Shape” (título em inglês, sem narração). |
| 20 min | Folha de exercícios; no nível Início, os alunos desenham à mão o círculo de dez pontos. |
| 10 min | Discutir: as perguntas abaixo. |
| 7 min | Demo ao vivo: vezes 2, 3, 4 e depois 101 com 200 pontos. |
A folha de exercícios
Início
Com 10 pontos e vezes 2, indique para onde vai cada ponto de 0 a 9.
Resposta: 0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.
Desenhe as dez linhas. A que pontos chegam duas linhas?
Resposta: Ao 2, ao 4, ao 6 e ao 8 chegam duas linhas cada: por exemplo, o 1 e o 6 vão ambos para o 2. Ao ponto 0 chega uma, vinda do 5, porque o 0 vai para si mesmo.
Base
Com 200 pontos e vezes 2, para onde vão os pontos 150 e 199?
Resposta: 300 − 200 = 100, e 398 − 200 = 198.
Com 200 pontos, que pontos vão para si mesmos com vezes 2? E com vezes 3?
Resposta: Vezes 2: só o ponto 0, porque 2n = n exige n = 0. Vezes 3: os pontos 0 e 100, porque 2n tem de ser 0 ou 200.
Quantas cúspides dão vezes 2, vezes 3 e vezes 4?
Resposta: 1, 2 e 3: a cardioide, a nefroide e uma curva com três cúspides, sempre k − 1.
Desafio
Com 200 pontos, mostre que vezes 101 envia cada ponto par para si mesmo e cada ponto ímpar para o lado oposto.
Resposta: 101n = 100n + n. Para n par, 100n é um múltiplo de 200, por isso o ponto continua a ser n. Para n ímpar, 100n deixa resto 100, por isso o ponto é n + 100: a meia volta.
Com 200 pontos, o que desenha vezes 201, e por que razão?
Resposta: Nada: 201n = 200n + n, por isso cada ponto vai para si mesmo e cada linha tem comprimento zero.
Para discutir
- Por que razão as linhas retas parecem uma curva?
- Por que razão só importa o resto da divisão por 200?
- O que desenharia vezes 202?
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