Tabliczka mnożenia na okręgu
Cele: uczeń potrafi
- liczyć na resztach z dzielenia (arytmetyka modularna);
- narysować kardioidę jako obwiednię prostych;
- powiązać mnożnik z liczbą ostrzy;
Przed filmem: przewidź
Dziesięć punktów na okręgu ma numery od 0 do 9. Każdy punkt n łączymy z punktem 2n, a po 9 liczymy od 0. Z którym punktem łączy się 7?
Film
One Multiplication Rule Draws Every Shape — 200 Dots on a Circle · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/one-multiplication-rule-draws-every-shape
Lekcja minuta po minucie
| 5 min | Przewidywanie na tablicy z dziesięcioma punktami; ustalcie, że 7 łączy się z 4, bo 14 − 10 = 4. |
|---|---|
| 3 min | Obejrzyjcie film „One Multiplication Rule Draws Every Shape” (tytuł po angielsku, bez mówienia). |
| 20 min | Karta pracy; uczniowie na poziomie Start rysują okrąg z dziesięcioma punktami ręcznie. |
| 10 min | Rozmowa: pytania niżej. |
| 7 min | Demo na żywo: razy 2, 3, 4, potem 101 przy 200 punktach. |
Karta pracy
Start
Przy 10 punktach i mnożeniu razy 2 wypisz, dokąd idzie każdy punkt od 0 do 9.
Odpowiedź: 0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.
Narysuj dziesięć odcinków. Do których punktów dochodzą dwa odcinki?
Odpowiedź: Do 2, 4, 6 i 8 dochodzą po dwa: na przykład 1 i 6 idą do 2. Do punktu 0 dochodzi jeden, z 5, bo 0 idzie sam w siebie.
Główny
Przy 200 punktach i mnożeniu razy 2 dokąd idą punkty 150 i 199?
Odpowiedź: 300 − 200 = 100 i 398 − 200 = 198.
Przy 200 punktach które punkty przechodzą same w siebie przy mnożeniu razy 2? A razy 3?
Odpowiedź: Razy 2: tylko punkt 0, bo 2n = n wymaga n = 0. Razy 3: punkty 0 i 100, bo 2n musi być równe 0 albo 200.
Ile ostrzy dają razy 2, razy 3 i razy 4?
Odpowiedź: 1, 2 i 3: kardioida, nefroida i krzywa z trzema ostrzami, zawsze k − 1.
Wyzwanie
Przy 200 punktach wykaż, że razy 101 wysyła każdy parzysty punkt w niego samego, a każdy nieparzysty na przeciwną stronę.
Odpowiedź: 101n = 100n + n. Dla parzystego n liczba 100n jest wielokrotnością 200, więc punkt zostaje n. Dla nieparzystego n liczba 100n daje resztę 100, więc punkt to n + 100: pół okręgu dalej.
Co narysuje razy 201 przy 200 punktach i dlaczego?
Odpowiedź: Nic: 201n = 200n + n, więc każdy punkt idzie sam w siebie, a każdy odcinek ma długość zero.
Do rozmowy
- Dlaczego proste odcinki wyglądają jak krzywa?
- Dlaczego liczy się tylko reszta z dzielenia przez 200?
- Co narysuje razy 202?
Podstawa programowa
Punkty podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum i technikum, które ćwiczy ta lekcja, w brzmieniu z zpe.gov.pl (sprawdzone 5 listopada 2026).
- Matematyka, I. Liczby rzeczywiste, zakres podstawowy, pkt 2 (Wyzwanie): „przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia […]”
- Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 2: „Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.”
- Informatyka, zakres podstawowy, II, pkt 1 (gdy klasa uruchamia skrypt z kursu): „projektuje i programuje rozwiązania problemów z różnych dziedzin, stosując: instrukcje wejścia/wyjścia, wyrażenia arytmetyczne i logiczne, instrukcje warunkowe, instrukcje iteracyjne, funkcje z parametrami i bez parametrów, testuje poprawność programów dla różnych danych […]”
Do wolnego użytku na lekcji. Jeśli się przydało, powiedz o tym innym nauczycielom albo Wesprzyj kanał →