Les tables de multiplication sur un cercle
Objectifs
- Calculer avec des restes (arithmétique modulaire).
- Tracer une cardioïde comme enveloppe de lignes droites.
- Relier le multiplicateur au nombre de points de rebroussement.
Avant le film : prédire
Dix points sur un cercle sont numérotés de 0 à 9. Chaque point n est relié au point 2n, en repartant de 0 après 9. À quel point 7 est-il relié ?
Le film
One Multiplication Rule Draws Every Shape — 200 Dots on a Circle · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/one-multiplication-rule-draws-every-shape
La leçon, minute par minute
| 5 min | Prédire au tableau avec dix points ; se mettre d’accord que 7 est relié à 4, car 14 − 10 = 4. |
|---|---|
| 3 min | Regarder le film « One Multiplication Rule Draws Every Shape » (titre en anglais, sans paroles). |
| 20 min | Fiche d’exercices ; les élèves du niveau Départ dessinent à la main le cercle à dix points. |
| 10 min | Discussion : les questions ci-dessous. |
| 7 min | Démo en direct : fois 2, 3, 4, puis 101 avec 200 points. |
La fiche d’exercices
Départ
Avec 10 points et fois 2, écris où va chaque point de 0 à 9.
Réponse : 0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.
Trace les dix lignes. Quels points reçoivent deux lignes ?
Réponse : 2, 4, 6 et 8 reçoivent chacun deux lignes : par exemple, 1 et 6 vont tous les deux à 2. Le point 0 en reçoit une, venant de 5, car 0 va sur lui-même.
Base
Avec 200 points et fois 2, où vont les points 150 et 199 ?
Réponse : 300 − 200 = 100, et 398 − 200 = 198.
Avec 200 points, quels points vont sur eux-mêmes avec fois 2 ? Avec fois 3 ?
Réponse : Fois 2 : seulement le point 0, car 2n = n impose n = 0. Fois 3 : les points 0 et 100, car 2n doit valoir 0 ou 200.
Combien de points de rebroussement donnent fois 2, fois 3 et fois 4 ?
Réponse : 1, 2 et 3 : la cardioïde, la néphroïde et une courbe à trois points de rebroussement, toujours k − 1.
Défi
Avec 200 points, montre que fois 101 envoie chaque point pair sur lui-même et chaque point impair de l’autre côté du cercle.
Réponse : 101n = 100n + n. Pour n pair, 100n est un multiple de 200, donc le point reste n. Pour n impair, 100n laisse un reste de 100, donc le point est n + 100 : à mi-tour.
Avec 200 points, que dessine fois 201, et pourquoi ?
Réponse : Rien : 201n = 200n + n, donc chaque point va sur lui-même et chaque ligne a une longueur nulle.
Pour discuter
- Pourquoi les lignes droites ressemblent-elles à une courbe ?
- Pourquoi seul compte le reste de la division par 200 ?
- Que dessinerait fois 202 ?
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