ガルトンボード：でたらめな跳ね返りから生まれる秩序
ねらい
- パスカルの三角形と二項係数で道の数を数える
- 道の数を確率に変える
- 多くの偶然の出来事が、なぜ予測できる形になるのかを理解する
動画の前に：予想する
玉1,000個が10段のくぎを通って落ちていきます。くぎに当たるたびに、玉は同じ確率で左か右へ進みます。玉がどこに積もると思うか、スケッチしてみましょう。
動画
Galton Board: 1,140 Random Balls Draw a Perfect Bell Curve · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/galton-board-1-140-random-balls-draw-a-perfect-bell-curve
授業の流れ（分ごと）
| 5 min | 予想：生徒それぞれが玉の山をスケッチします。違うスケッチを2つか3つ、黒板に集めます。 |
|---|---|
| 3 min | 動画を見て、スケッチと比べます。 |
| 20 min | ペアでワークシート。ペアごとに自分のレベル（スタート、基本、チャレンジ）で取り組みます。 |
| 10 min | 話し合う：下の問い。 |
| 7 min | 黒板でライブデモ：ボードを60 %に傾けて段を増やし、予想を確かめます。 |
ワークシート
スタート
ボードには3段あります。玉が通りうる左右の道をすべて描きましょう。道は何通りありますか？
答え： 2 × 2 × 2 = 8通り。
8通りの道のうち、4つの箱それぞれに行き着くのは何通りですか？
答え： 1、3、3、1。両端の箱へは1通りずつ、真ん中の2つの箱へは3通りずつです。
玉が真ん中の2つの箱のどちらかに入る確率はいくつですか？
答え： 6 ÷ 8 = 75 %。
基本
10段のとき、玉1個が通りうる道は何通りありますか？
答え： 2¹⁰ = 1,024。
そのうち、真ん中の箱（右へのちょうど5回の跳ね返り）に行き着くのは何通りですか？
答え： C(10, 5) = 252。
真ん中の箱に入る確率はいくつですか？
答え： 252 ÷ 1,024 ≈ 24.6 %。
両端の2つの箱のどちらかに入る確率はいくつですか？
答え： 2 ÷ 1,024 ≈ 0.2 %。
玉1,000個のうち、およそいくつが箱4、5、6に入りますか？
答え： (210 + 252 + 210) ÷ 1,024 ≈ 65.6 % なので、約656個です。
チャレンジ
今度はどのくぎも、玉の60 %を右へ送ります。10段のとき、いちばん入りやすいのはどの箱で、その確率はいくつですか？
答え： 箱6：C(10, 6) · 0.6⁶ · 0.4⁴ ≈ 25.1 %。釣鐘の中心は 10 × 0.6 = 6 へ移ります。
段の数nが偶数のとき、真ん中の箱には玉の C(n, n/2) ÷ 2ⁿ が入ります。何段から、それが10 %を下回りますか？
答え： 64段からです：C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9.9 %。釣鐘が広がるので、真ん中の箱の割合は小さくなります。
話し合う
- 玉1個からは、ほとんど何もわかりません。それなのに、玉1,000個からほとんどすべてがわかるのはなぜでしょうか？
- ほかにどこで釣鐘形の曲線に出会いますか？（身長、測定の誤差、テストの点数）
- どのくぎも玉の60 %を右へ送るとしたら、何が変わるでしょうか？
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