El tablero de Galton: orden a partir de rebotes al azar
Objetivos: el alumnado aprende a
- contar caminos con el triángulo de Pascal y los coeficientes binomiales;
- convertir el número de caminos en probabilidades;
- ver por qué muchos sucesos aleatorios dan una forma predecible;
Antes del vídeo: predice
1000 bolas caen a través de 10 filas de clavos. En cada clavo, una bola va a la izquierda o a la derecha con la misma probabilidad. Dibuja dónde crees que se amontonarán.
El vídeo
Random Balls Build a Perfect Bell Curve — Hypnotic Galton Board · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/random-balls-build-a-perfect-bell-curve
La clase, minuto a minuto
| 5 min | Predicción: cada estudiante dibuja el montón; recoger en la pizarra dos o tres bocetos distintos. |
|---|---|
| 3 min | Ver el vídeo y compararlo con los bocetos. |
| 20 min | Hoja de trabajo por parejas, cada pareja en su nivel: Inicio, Base o Reto. |
| 10 min | Debate: las preguntas de abajo. |
| 7 min | Demo en directo en la pizarra: inclinar el tablero al 60 % y añadir filas; comprobar las predicciones. |
La hoja de trabajo
Inicio
Un tablero tiene 3 filas. Dibuja todos los caminos izquierda/derecha que puede seguir una bola. ¿Cuántos hay?
Respuesta: 2 × 2 × 2 = 8 caminos.
¿Cuántos de los 8 caminos terminan en cada una de las 4 casillas?
Respuesta: 1, 3, 3, 1: un camino a cada extremo y tres a cada casilla central.
¿Qué probabilidad hay de que una bola caiga en una de las dos casillas centrales?
Respuesta: 6 ÷ 8 = 75 %.
Base
Con 10 filas, ¿cuántos caminos distintos puede seguir una bola?
Respuesta: 2¹⁰ = 1024.
¿Cuántos de ellos terminan en la casilla central (exactamente 5 rebotes a la derecha)?
Respuesta: C(10, 5) = 252.
¿Qué probabilidad tiene la casilla central?
Respuesta: 252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.
¿Qué probabilidad tiene una de las dos casillas de los extremos?
Respuesta: 2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.
De 1000 bolas, ¿cuántas caen más o menos en las casillas 4, 5 o 6?
Respuesta: (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, así que unas 656 bolas.
Reto
Ahora cada clavo envía el 60 % de las bolas a la derecha. Con 10 filas, ¿qué casilla es la más probable, y con qué probabilidad?
Respuesta: La casilla 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. El centro de la campana se desplaza a 10 × 0,6 = 6.
Con un número par de filas n, la casilla central recibe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ de las bolas. ¿A partir de cuántas filas es menos del 10 %?
Respuesta: A partir de 64 filas: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. La campana se ensancha, así que la casilla central recibe una parte menor.
Para debatir
- Una sola bola no dice casi nada. ¿Por qué 1000 bolas lo dicen casi todo?
- ¿Dónde más te encuentras una curva en forma de campana? (estaturas, errores de medida, notas de exámenes)
- ¿Qué cambiaría si cada clavo enviara el 60 % de las bolas a la derecha?
Gratis para usar con tu grupo. Si te ha servido, cuéntaselo a otro docente o Apoya el canal →