Deska Galtona: porządek z przypadkowych odbić
Cele: uczeń potrafi
- liczyć drogi trójkątem Pascala i współczynnikami dwumianowymi;
- zamieniać liczby dróg na prawdopodobieństwa;
- zobaczyć, dlaczego wiele zdarzeń losowych daje przewidywalny kształt;
Przed filmem: przewidź
1000 kulek spada przez 10 rzędów kołków. Na każdym kołku kulka idzie w lewo albo w prawo z jednakową szansą. Naszkicuj, gdzie twoim zdaniem się zbiorą.
Film
Random Balls Build a Perfect Bell Curve — Hypnotic Galton Board · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/random-balls-build-a-perfect-bell-curve
Lekcja minuta po minucie
| 5 min | Przewidywanie: każdy szkicuje stos kulek; zbierzcie na tablicy dwa, trzy różne szkice. |
|---|---|
| 3 min | Obejrzyjcie film; porównajcie go ze szkicami. |
| 20 min | Karta pracy w parach, każda para na swoim poziomie: Start, Główny albo Wyzwanie. |
| 10 min | Rozmowa: pytania niżej. |
| 7 min | Demo na żywo na tablicy: przechylcie deskę do 60 % i dodajcie rzędy; sprawdźcie przewidywania. |
Karta pracy
Start
Deska ma 3 rzędy. Narysuj każdą drogę lewo/prawo, którą może przejść kulka. Ile ich jest?
Odpowiedź: 2 × 2 × 2 = 8 dróg.
Ile z 8 dróg kończy się w każdej z 4 przegródek?
Odpowiedź: 1, 3, 3, 1: jedna droga do każdego brzegu, trzy do każdej środkowej przegródki.
Jaka jest szansa, że kulka wpadnie do jednej z dwóch środkowych przegródek?
Odpowiedź: 6 ÷ 8 = 75 %.
Główny
Ile różnych dróg może przejść jedna kulka przy 10 rzędach?
Odpowiedź: 2¹⁰ = 1024.
Ile z nich kończy się w środkowej przegródce (dokładnie 5 odbić w prawo)?
Odpowiedź: C(10, 5) = 252.
Jaka jest szansa środkowej przegródki?
Odpowiedź: 252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.
Jaka jest szansa jednej z dwóch skrajnych przegródek?
Odpowiedź: 2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.
Ile mniej więcej z 1000 kulek wpadnie do przegródek 4, 5 albo 6?
Odpowiedź: (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, więc około 656 kulek.
Wyzwanie
Teraz każdy kołek posyła 60 % kulek w prawo. Która z 10 przegródek jest najbardziej prawdopodobna i z jaką szansą?
Odpowiedź: Przegródka 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Środek dzwonu przesuwa się do 10 × 0,6 = 6.
Przy parzystej liczbie rzędów n środkowa przegródka dostaje C(n, n/2) ÷ 2ⁿ kulek. Od ilu rzędów to mniej niż 10 %?
Odpowiedź: Od 64 rzędów: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. Dzwon się rozszerza, więc środkowa przegródka dostaje mniejszą część.
Do rozmowy
- Jedna kulka nie mówi prawie nic. Dlaczego 1000 kulek mówi prawie wszystko?
- Gdzie jeszcze spotykasz krzywą dzwonową? (wzrost, błędy pomiaru, wyniki testów)
- Co by się zmieniło, gdyby każdy kołek posyłał 60 % kulek w prawo?
Podstawa programowa
Punkty podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum i technikum, które ćwiczy ta lekcja, w brzmieniu z zpe.gov.pl (sprawdzone 5 listopada 2026).
- Matematyka, XI. Kombinatoryka, zakres podstawowy, pkt 2: „zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności […]”
- Matematyka, XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, zakres podstawowy, pkt 1: „oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;”
- Matematyka, XI. Kombinatoryka, zakres rozszerzony, pkt 2: „stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.”
- Matematyka, II. Wyrażenia algebraiczne, zakres rozszerzony, pkt 4: „stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona) […]”
- Matematyka, XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, zakres rozszerzony, pkt 2 (Wyzwanie): „stosuje schemat Bernoullego.”
- Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 2: „Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.”
Do wolnego użytku na lekcji. Jeśli się przydało, powiedz o tym innym nauczycielom albo Wesprzyj kanał →