Deska Galtona: porządek z przypadkowych odbić
Start
Deska ma 3 rzędy. Narysuj każdą drogę lewo/prawo, którą może przejść kulka. Ile ich jest?
2 × 2 × 2 = 8 dróg.
Ile z 8 dróg kończy się w każdej z 4 przegródek?
1, 3, 3, 1: jedna droga do każdego brzegu, trzy do każdej środkowej przegródki.
Jaka jest szansa, że kulka wpadnie do jednej z dwóch środkowych przegródek?
6 ÷ 8 = 75 %.
Główny
Ile różnych dróg może przejść jedna kulka przy 10 rzędach?
2¹⁰ = 1024.
Ile z nich kończy się w środkowej przegródce (dokładnie 5 odbić w prawo)?
C(10, 5) = 252.
Jaka jest szansa środkowej przegródki?
252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.
Jaka jest szansa jednej z dwóch skrajnych przegródek?
2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.
Ile mniej więcej z 1000 kulek wpadnie do przegródek 4, 5 albo 6?
(210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, więc około 656 kulek.
Wyzwanie
Teraz każdy kołek posyła 60 % kulek w prawo. Która z 10 przegródek jest najbardziej prawdopodobna i z jaką szansą?
Przegródka 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Środek dzwonu przesuwa się do 10 × 0,6 = 6.
Przy parzystej liczbie rzędów n środkowa przegródka dostaje C(n, n/2) ÷ 2ⁿ kulek. Od ilu rzędów to mniej niż 10 %?
Od 64 rzędów: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. Dzwon się rozszerza, więc środkowa przegródka dostaje mniejszą część.