El tablero de Galton: orden a partir de rebotes al azar

Un tablero tiene 3 filas. Dibuja todos los caminos izquierda/derecha que puede seguir una bola. ¿Cuántos hay?

2 × 2 × 2 = 8 caminos.

¿Cuántos de los 8 caminos terminan en cada una de las 4 casillas?

1, 3, 3, 1: un camino a cada extremo y tres a cada casilla central.

¿Qué probabilidad hay de que una bola caiga en una de las dos casillas centrales?

6 ÷ 8 = 75 %.

Con 10 filas, ¿cuántos caminos distintos puede seguir una bola?

2¹⁰ = 1024.

¿Cuántos de ellos terminan en la casilla central (exactamente 5 rebotes a la derecha)?

C(10, 5) = 252.

¿Qué probabilidad tiene la casilla central?

252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.

¿Qué probabilidad tiene una de las dos casillas de los extremos?

2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.

De 1000 bolas, ¿cuántas caen más o menos en las casillas 4, 5 o 6?

(210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, así que unas 656 bolas.

Ahora cada clavo envía el 60 % de las bolas a la derecha. Con 10 filas, ¿qué casilla es la más probable, y con qué probabilidad?

La casilla 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. El centro de la campana se desplaza a 10 × 0,6 = 6.

Con un número par de filas n, la casilla central recibe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ de las bolas. ¿A partir de cuántas filas es menos del 10 %?

A partir de 64 filas: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. La campana se ensancha, así que la casilla central recibe una parte menor.