골턴 보드: 무작위 튕김에서 나오는 질서

보드에 줄이 3개 있어요. 공이 갈 수 있는 왼쪽/오른쪽 길을 모두 그려 보세요. 몇 개인가요?

2 × 2 × 2 = 8개의 길.

8개의 길 중 몇 개가 4개의 칸 각각에서 끝날까요?

1, 3, 3, 1: 양쪽 가장자리 칸에는 길이 하나씩, 가운데 두 칸에는 셋씩.

공이 가운데 두 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?

6 ÷ 8 = 75 %.

줄이 10개면 공 하나가 갈 수 있는 서로 다른 길은 몇 개일까요?

2¹⁰ = 1,024.

그중 몇 개가 가운데 칸(정확히 오른쪽으로 5번 튐)에서 끝날까요?

C(10, 5) = 252.

가운데 칸에 들어갈 확률은 얼마일까요?

252 ÷ 1,024 ≈ 24.6 %.

양쪽 맨 끝 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?

2 ÷ 1,024 ≈ 0.2 %.

공 1,000개 중 대략 몇 개가 4번, 5번, 6번 칸에 들어갈까요?

(210 + 252 + 210) ÷ 1,024 ≈ 65.6 %, 그러니 약 656개.

이제 못마다 공의 60 %를 오른쪽으로 보내요. 10줄 보드에서 가장 가능성이 큰 칸은 어디이고, 그 확률은 얼마일까요?

6번 칸: C(10, 6) · 0.6⁶ · 0.4⁴ ≈ 25.1 %. 종의 중심이 10 × 0.6 = 6으로 옮겨 가요.

줄의 수 n이 짝수이면 가운데 칸에는 공의 C(n, n/2) ÷ 2ⁿ이 들어가요. 줄이 몇 개부터 이 값이 10 %보다 작아질까요?

64줄부터: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9.9 %. 종이 넓게 퍼져서 가운데 칸이 받는 몫이 작아져요.