Das Galtonbrett: Ordnung aus zufälligen Sprüngen

Ein Brett hat 3 Reihen. Zeichne jeden Links-rechts-Weg, den eine Kugel nehmen kann. Wie viele gibt es?

2 × 2 × 2 = 8 Wege.

Wie viele der 8 Wege enden in jedem der 4 Fächer?

1, 3, 3, 1: ein Weg zu jedem Rand, drei zu jedem mittleren Fach.

Wie groß ist die Chance, dass eine Kugel in einem der beiden mittleren Fächer landet?

6 ÷ 8 = 75 %.

Wie viele verschiedene Wege kann eine Kugel bei 10 Reihen nehmen?

2¹⁰ = 1024.

Wie viele davon enden im mittleren Fach (genau 5 Sprünge nach rechts)?

C(10, 5) = 252.

Wie groß ist die Chance für das mittlere Fach?

252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.

Wie groß ist die Chance für eines der beiden äußeren Fächer?

2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.

Wie viele von 1000 Kugeln landen ungefähr in den Fächern 4, 5 oder 6?

(210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, also etwa 656 Kugeln.

Jeder Stift schickt jetzt 60 % der Kugeln nach rechts. Welches Fach ist bei 10 Reihen am wahrscheinlichsten, und wie wahrscheinlich?

Fach 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Die Mitte der Glocke wandert zu 10 × 0,6 = 6.

Bei einer geraden Zahl von Reihen n bekommt das mittlere Fach C(n, n/2) ÷ 2ⁿ der Kugeln. Ab wie vielen Reihen ist das weniger als 10 %?

Ab 64 Reihen: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. Die Glocke wird breiter, also bekommt das mittlere Fach einen kleineren Anteil.