O tabuleiro de Galton: ordem a partir de desvios ao acaso

Um tabuleiro tem 3 filas. Desenhe todos os caminhos esquerda/direita que uma bola pode fazer. Quantos são?

2 × 2 × 2 = 8 caminhos.

Quantos dos 8 caminhos terminam em cada um dos 4 compartimentos?

1, 3, 3, 1: um caminho para cada ponta, três para cada compartimento do meio.

Qual é a probabilidade de uma bola cair num dos dois compartimentos do meio?

6 ÷ 8 = 75%.

Com 10 filas, quantos caminhos diferentes pode fazer uma bola?

2¹⁰ = 1024.

Quantos deles terminam no compartimento central (exatamente 5 desvios para a direita)?

C(10, 5) = 252.

Qual é a probabilidade do compartimento central?

252 ÷ 1024 ≈ 24,6%.

Qual é a probabilidade de um dos dois compartimentos das pontas?

2 ÷ 1024 ≈ 0,2%.

De 1000 bolas, cerca de quantas caem nos compartimentos 4, 5 ou 6?

(210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6%, ou seja, cerca de 656 bolas.

Agora cada pino envia 60% das bolas para a direita. Com 10 filas, qual compartimento é o mais provável, e com que probabilidade?

O compartimento 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1%. O centro do sino passa para 10 × 0,6 = 6.

Com um número par de filas n, o compartimento central recebe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ das bolas. A partir de quantas filas isso fica abaixo de 10%?

A partir de 64 filas: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9%. O sino alarga-se, por isso o compartimento central recebe uma parte menor.