O tabuleiro de Galton: ordem a partir de desvios ao acaso
Objetivos
- Contar caminhos com o triângulo de Pascal e os coeficientes binomiais.
- Transformar contagens de caminhos em probabilidades.
- Perceber por que razão muitos acontecimentos aleatórios dão uma forma previsível.
Antes do filme: prever
1000 bolas caem através de 10 filas de pinos. Em cada pino, uma bola vai para a esquerda ou para a direita com a mesma probabilidade. Esboce onde acha que se vão acumular.
O filme
Random Balls Build a Perfect Bell Curve — Hypnotic Galton Board · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/random-balls-build-a-perfect-bell-curve
A aula, minuto a minuto
| 5 min | Prever: cada um esboça a pilha de bolas; reúnam no quadro dois ou três esboços diferentes. |
|---|---|
| 3 min | Ver o filme; compará-lo com os esboços. |
| 20 min | Folha de exercícios em pares, cada par no seu nível: Início, Base ou Desafio. |
| 10 min | Discutir: as perguntas abaixo. |
| 7 min | Demo ao vivo no quadro: inclinar o tabuleiro para 60% e acrescentar filas; verificar as previsões. |
A folha de exercícios
Início
Um tabuleiro tem 3 filas. Desenhe todos os caminhos esquerda/direita que uma bola pode fazer. Quantos são?
Resposta: 2 × 2 × 2 = 8 caminhos.
Quantos dos 8 caminhos terminam em cada um dos 4 compartimentos?
Resposta: 1, 3, 3, 1: um caminho para cada ponta, três para cada compartimento do meio.
Qual é a probabilidade de uma bola cair num dos dois compartimentos do meio?
Resposta: 6 ÷ 8 = 75%.
Base
Com 10 filas, quantos caminhos diferentes pode fazer uma bola?
Resposta: 2¹⁰ = 1024.
Quantos deles terminam no compartimento central (exatamente 5 desvios para a direita)?
Resposta: C(10, 5) = 252.
Qual é a probabilidade do compartimento central?
Resposta: 252 ÷ 1024 ≈ 24,6%.
Qual é a probabilidade de um dos dois compartimentos das pontas?
Resposta: 2 ÷ 1024 ≈ 0,2%.
De 1000 bolas, cerca de quantas caem nos compartimentos 4, 5 ou 6?
Resposta: (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6%, ou seja, cerca de 656 bolas.
Desafio
Agora cada pino envia 60% das bolas para a direita. Com 10 filas, qual compartimento é o mais provável, e com que probabilidade?
Resposta: O compartimento 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1%. O centro do sino passa para 10 × 0,6 = 6.
Com um número par de filas n, o compartimento central recebe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ das bolas. A partir de quantas filas isso fica abaixo de 10%?
Resposta: A partir de 64 filas: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9%. O sino alarga-se, por isso o compartimento central recebe uma parte menor.
Para discutir
- Uma bola quase não diz nada. Por que razão 1000 bolas dizem quase tudo?
- Onde mais encontramos uma curva em sino? (alturas, erros de medição, resultados de testes)
- O que mudaria se cada pino enviasse 60% das bolas para a direita?
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