La planche de Galton : de l’ordre à partir de rebonds au hasard
Objectifs
- Compter des chemins avec le triangle de Pascal et les coefficients binomiaux.
- Transformer des nombres de chemins en probabilités.
- Voir pourquoi beaucoup d’événements aléatoires donnent une forme prévisible.
Avant le film : prédire
1 000 billes tombent à travers 10 rangées de clous. À chaque clou, une bille part à gauche ou à droite avec la même chance. Dessine où, selon toi, elles vont s’empiler.
Le film
Random Balls Build a Perfect Bell Curve — Hypnotic Galton Board · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/random-balls-build-a-perfect-bell-curve
La leçon, minute par minute
| 5 min | Prédire : chaque élève dessine le tas ; recueillir au tableau deux ou trois dessins différents. |
|---|---|
| 3 min | Regarder le film ; le comparer avec les dessins. |
| 20 min | Fiche d’exercices en binômes, chaque binôme à son niveau : Départ, Base ou Défi. |
| 10 min | Discussion : les questions ci-dessous. |
| 7 min | Démo en direct au tableau : pencher la planche à 60 % et ajouter des rangées ; vérifier les prédictions. |
La fiche d’exercices
Départ
Une planche a 3 rangées. Dessine tous les chemins gauche/droite qu’une bille peut prendre. Combien y en a-t-il ?
Réponse : 2 × 2 × 2 = 8 chemins.
Combien des 8 chemins arrivent dans chacune des 4 cases ?
Réponse : 1, 3, 3, 1 : un chemin vers chaque bord, trois vers chaque case du milieu.
Quelle est la probabilité qu’une bille tombe dans l’une des deux cases du milieu ?
Réponse : 6 ÷ 8 = 75 %.
Base
Avec 10 rangées, combien de chemins différents une bille peut-elle prendre ?
Réponse : 2¹⁰ = 1 024.
Combien d’entre eux arrivent dans la case du milieu (exactement 5 rebonds vers la droite) ?
Réponse : C(10, 5) = 252.
Quelle est la probabilité de la case du milieu ?
Réponse : 252 ÷ 1 024 ≈ 24,6 %.
Quelle est la probabilité de l’une des deux cases extrêmes ?
Réponse : 2 ÷ 1 024 ≈ 0,2 %.
Sur 1 000 billes, environ combien tombent dans les cases 4, 5 ou 6 ?
Réponse : (210 + 252 + 210) ÷ 1 024 ≈ 65,6 %, donc environ 656 billes.
Défi
Chaque clou envoie maintenant 60 % des billes vers la droite. Avec 10 rangées, quelle case est la plus probable, et avec quelle probabilité ?
Réponse : La case 6 : C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Le centre de la cloche se déplace à 10 × 0,6 = 6.
Avec un nombre pair de rangées n, la case du milieu reçoit C(n, n/2) ÷ 2ⁿ des billes. À partir de combien de rangées est-ce moins de 10 % ?
Réponse : À partir de 64 rangées : C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. La cloche s’étale, donc la case du milieu reçoit une part plus petite.
Pour discuter
- Une bille seule ne dit presque rien. Pourquoi 1 000 billes disent-elles presque tout ?
- Où rencontre-t-on encore une courbe en cloche ? (les tailles, les erreurs de mesure, les résultats aux tests)
- Qu’est-ce qui changerait si chaque clou envoyait 60 % des billes vers la droite ?
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