Das Galtonbrett: Ordnung aus zufälligen Sprüngen
Ziele: Die Lernenden können
- Wege mit dem Pascalschen Dreieck und Binomialkoeffizienten zählen
- Anzahlen von Wegen in Wahrscheinlichkeiten umrechnen
- erkennen, warum viele Zufallsereignisse eine vorhersagbare Form ergeben
Vor dem Film: vorhersagen
1000 Kugeln fallen durch 10 Reihen von Stiften. An jedem Stift geht eine Kugel mit gleicher Chance nach links oder rechts. Skizziere, wo sie sich deiner Meinung nach häufen.
Der Film
Random Balls Build a Perfect Bell Curve — Hypnotic Galton Board · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/random-balls-build-a-perfect-bell-curve
Die Stunde, Minute für Minute
| 5 min | Vorhersagen: Alle skizzieren den Kugelhaufen; sammelt zwei oder drei verschiedene Skizzen an der Tafel. |
|---|---|
| 3 min | Schaut den Film an; vergleicht ihn mit den Skizzen. |
| 20 min | Arbeitsblatt in Paaren, jedes Paar auf seinem Niveau: Einstieg, Basis oder Herausforderung. |
| 10 min | Besprechen: die Fragen unten. |
| 7 min | Live-Demo an der Tafel: Kippt das Brett auf 60 % und fügt Reihen hinzu; prüft die Vorhersagen. |
Das Arbeitsblatt
Einstieg
Ein Brett hat 3 Reihen. Zeichne jeden Links-rechts-Weg, den eine Kugel nehmen kann. Wie viele gibt es?
Lösung: 2 × 2 × 2 = 8 Wege.
Wie viele der 8 Wege enden in jedem der 4 Fächer?
Lösung: 1, 3, 3, 1: ein Weg zu jedem Rand, drei zu jedem mittleren Fach.
Wie groß ist die Chance, dass eine Kugel in einem der beiden mittleren Fächer landet?
Lösung: 6 ÷ 8 = 75 %.
Basis
Wie viele verschiedene Wege kann eine Kugel bei 10 Reihen nehmen?
Lösung: 2¹⁰ = 1024.
Wie viele davon enden im mittleren Fach (genau 5 Sprünge nach rechts)?
Lösung: C(10, 5) = 252.
Wie groß ist die Chance für das mittlere Fach?
Lösung: 252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.
Wie groß ist die Chance für eines der beiden äußeren Fächer?
Lösung: 2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.
Wie viele von 1000 Kugeln landen ungefähr in den Fächern 4, 5 oder 6?
Lösung: (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, also etwa 656 Kugeln.
Herausforderung
Jeder Stift schickt jetzt 60 % der Kugeln nach rechts. Welches Fach ist bei 10 Reihen am wahrscheinlichsten, und wie wahrscheinlich?
Lösung: Fach 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Die Mitte der Glocke wandert zu 10 × 0,6 = 6.
Bei einer geraden Zahl von Reihen n bekommt das mittlere Fach C(n, n/2) ÷ 2ⁿ der Kugeln. Ab wie vielen Reihen ist das weniger als 10 %?
Lösung: Ab 64 Reihen: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. Die Glocke wird breiter, also bekommt das mittlere Fach einen kleineren Anteil.
Zum Besprechen
- Eine Kugel verrät fast nichts. Warum verraten 1000 Kugeln fast alles?
- Wo begegnet dir sonst noch eine Glockenkurve? (Körpergrößen, Messfehler, Testergebnisse)
- Was würde sich ändern, wenn jeder Stift 60 % der Kugeln nach rechts schickte?
Kostenlos für den Unterricht mit deiner Klasse. Wenn es geholfen hat, erzähl es einer anderen Lehrkraft, oder: Den Kanal unterstützen →