골턴 보드: 무작위 튕김에서 나오는 질서
학습 목표
- 파스칼 삼각형과 이항계수로 길의 수 세기
- 길의 수를 확률로 바꾸기
- 무작위 사건이 많이 모이면 왜 예측할 수 있는 모양이 나오는지 알기
영상 보기 전: 예측하기
공 1,000개가 못이 박힌 10줄을 지나 떨어져요. 못마다 공은 같은 확률로 왼쪽이나 오른쪽으로 가요. 공이 어디에 쌓일지 생각한 대로 스케치해 보세요.
영상
Galton Board: 1,140 Random Balls Draw a Perfect Bell Curve · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/galton-board-1-140-random-balls-draw-a-perfect-bell-curve
분 단위 수업 흐름
| 5 min | 예측하기: 학생마다 공이 쌓인 모양을 스케치하고, 서로 다른 스케치 두세 개를 칠판에 모아요. |
|---|---|
| 3 min | 영상을 보고 스케치와 비교해요. |
| 20 min | 짝을 지어 활동지 풀기, 짝마다 자기 단계로: 기초, 기본, 도전. |
| 10 min | 토론: 아래 질문. |
| 7 min | 칠판에서 라이브 데모: 보드를 60 %로 기울이고 줄을 늘리며 예측을 확인해요. |
활동지
기초
보드에 줄이 3개 있어요. 공이 갈 수 있는 왼쪽/오른쪽 길을 모두 그려 보세요. 몇 개인가요?
정답: 2 × 2 × 2 = 8개의 길.
8개의 길 중 몇 개가 4개의 칸 각각에서 끝날까요?
정답: 1, 3, 3, 1: 양쪽 가장자리 칸에는 길이 하나씩, 가운데 두 칸에는 셋씩.
공이 가운데 두 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?
정답: 6 ÷ 8 = 75 %.
기본
줄이 10개면 공 하나가 갈 수 있는 서로 다른 길은 몇 개일까요?
정답: 2¹⁰ = 1,024.
그중 몇 개가 가운데 칸(정확히 오른쪽으로 5번 튐)에서 끝날까요?
정답: C(10, 5) = 252.
가운데 칸에 들어갈 확률은 얼마일까요?
정답: 252 ÷ 1,024 ≈ 24.6 %.
양쪽 맨 끝 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?
정답: 2 ÷ 1,024 ≈ 0.2 %.
공 1,000개 중 대략 몇 개가 4번, 5번, 6번 칸에 들어갈까요?
정답: (210 + 252 + 210) ÷ 1,024 ≈ 65.6 %, 그러니 약 656개.
도전
이제 못마다 공의 60 %를 오른쪽으로 보내요. 10줄 보드에서 가장 가능성이 큰 칸은 어디이고, 그 확률은 얼마일까요?
정답: 6번 칸: C(10, 6) · 0.6⁶ · 0.4⁴ ≈ 25.1 %. 종의 중심이 10 × 0.6 = 6으로 옮겨 가요.
줄의 수 n이 짝수이면 가운데 칸에는 공의 C(n, n/2) ÷ 2ⁿ이 들어가요. 줄이 몇 개부터 이 값이 10 %보다 작아질까요?
정답: 64줄부터: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9.9 %. 종이 넓게 퍼져서 가운데 칸이 받는 몫이 작아져요.
토론
- 공 하나로는 거의 아무것도 알 수 없어요. 그런데 공 1,000개는 왜 거의 모든 것을 알려 줄까요?
- 종 모양 곡선은 또 어디에서 만날 수 있을까요? (키, 측정 오차, 시험 점수)
- 못마다 공의 60 %를 오른쪽으로 보낸다면 무엇이 달라질까요?
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