La planche de Galton : de l’ordre à partir de rebonds au hasard

Une planche a 3 rangées. Dessine tous les chemins gauche/droite qu’une bille peut prendre. Combien y en a-t-il ?

2 × 2 × 2 = 8 chemins.

Combien des 8 chemins arrivent dans chacune des 4 cases ?

1, 3, 3, 1 : un chemin vers chaque bord, trois vers chaque case du milieu.

Quelle est la probabilité qu’une bille tombe dans l’une des deux cases du milieu ?

6 ÷ 8 = 75 %.

Avec 10 rangées, combien de chemins différents une bille peut-elle prendre ?

2¹⁰ = 1 024.

Combien d’entre eux arrivent dans la case du milieu (exactement 5 rebonds vers la droite) ?

C(10, 5) = 252.

Quelle est la probabilité de la case du milieu ?

252 ÷ 1 024 ≈ 24,6 %.

Quelle est la probabilité de l’une des deux cases extrêmes ?

2 ÷ 1 024 ≈ 0,2 %.

Sur 1 000 billes, environ combien tombent dans les cases 4, 5 ou 6 ?

(210 + 252 + 210) ÷ 1 024 ≈ 65,6 %, donc environ 656 billes.

Chaque clou envoie maintenant 60 % des billes vers la droite. Avec 10 rangées, quelle case est la plus probable, et avec quelle probabilité ?

La case 6 : C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Le centre de la cloche se déplace à 10 × 0,6 = 6.

Avec un nombre pair de rangées n, la case du milieu reçoit C(n, n/2) ÷ 2ⁿ des billes. À partir de combien de rangées est-ce moins de 10 % ?

À partir de 64 rangées : C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. La cloche s’étale, donc la case du milieu reçoit une part plus petite.