カオスゲーム：偶然から生まれるフラクタル

頂点は A (0, 0)、B (8, 0)、C (4, 8) です。(4, 4) から出発し、Aへ、次にCへ、次にBへ、次にCへと半分ずつ跳びます。それぞれの点を書きましょう。

(2, 2)、(3, 5)、(5.5, 2.5)、(4.75, 5.25)。

2点のちょうど中間の点は、どうやって求めますか？

x の値の平均と、y の値の平均をとります。

シェルピンスキーの三角形は、段階ごとに、どの三角形からも真ん中の4分の1を取り除きます。1段階、2段階、5段階のあとに残る面積の割合はどれだけですか？

3/4 = 75 %、9/16 ≈ 56.3 %、(3/4)⁵ ≈ 23.7 %。

5段階のあと、小さな三角形はいくつありますか？

3⁵ = 243。

1回跳ぶごとに、フラクタルまでの距離は半分になります。10回跳んだあと、最初の距離のどれだけが残っていますか？

(1/2)¹⁰ = 1/1,024、約1,000分の1です。

シェルピンスキーの三角形は、半分の大きさの自分自身3つでできています。その次元dは 2ᵈ = 3 を満たします。dを求めましょう。

d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585。線（1）より大きく、塗りつぶした三角形（2）より小さい値です。

正方形で、半分ずつ跳ぶゲームをしてみましょう。点がただ正方形を埋めるだけなのはなぜですか？

半分の大きさの正方形4つは、すき間なくちょうど正方形を埋めるので、ルールで変わらない形は正方形全体になるからです。