카오스 게임: 우연에서 나오는 프랙털
기초
꼭짓점은 A (0, 0), B (8, 0), C (4, 8)이에요. (4, 4)에서 출발해 A, 그다음 C, 그다음 B, 그다음 C를 향해 절반씩 점프하세요. 각 점을 적어 보세요.
(2, 2), (3, 5), (5.5, 2.5), (4.75, 5.25).
두 점의 한가운데 점은 어떻게 구할까요?
x 값들의 평균과 y 값들의 평균을 구해요.
기본
시에르핀스키 삼각형의 각 단계는 모든 삼각형에서 가운데 4분의 1을 없애요. 1단계, 2단계, 5단계 뒤에 넓이의 몇 %가 남을까요?
3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56.3 %, (3/4)⁵ ≈ 23.7 %.
5단계 뒤에는 작은 삼각형이 몇 개 있을까요?
3⁵ = 243.
점프할 때마다 프랙털까지의 거리가 절반이 돼요. 10번 점프한 뒤에는 처음 거리의 얼마가 남을까요?
(1/2)¹⁰ = 1/1,024, 약 1,000분의 1.
도전
시에르핀스키 삼각형은 절반 크기의 자기 복사본 3개로 이루어져 있어요. 그 차원 d는 2ᵈ = 3을 만족해요. d를 구하세요.
d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585: 선(1)보다 크고, 꽉 찬 삼각형(2)보다 작아요.
사각형에서 절반 점프로 게임을 해 보세요. 점이 왜 사각형을 그냥 채울까요?
절반 크기의 사각형 복사본 네 개가 빈틈없이 사각형을 정확히 채우므로, 규칙이 바꾸지 않는 모양은 사각형 전체예요.