Le jeu du chaos : une fractale née du hasard

Les sommets sont A (0 ; 0), B (8 ; 0) et C (4 ; 8). Pars de (4 ; 4) et saute à mi-chemin vers A, puis C, puis B, puis C. Note chaque point.

(2 ; 2), (3 ; 5), (5,5 ; 2,5), (4,75 ; 5,25).

Comment trouve-t-on le point à mi-chemin entre deux points ?

On prend la moyenne des valeurs x et la moyenne des valeurs y.

Chaque étape du triangle de Sierpiński enlève le quart central de chaque triangle. Quelle part de l’aire reste-t-il après 1, 2 et 5 étapes ?

3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.

Combien y a-t-il de petits triangles après 5 étapes ?

3⁵ = 243.

Chaque saut divise par deux la distance à la fractale. Après 10 sauts, quelle part de la distance de départ reste-t-il ?

(1/2)¹⁰ = 1/1 024, environ un millième.

Le triangle de Sierpiński est fait de 3 copies de lui-même à moitié taille. Sa dimension d vérifie 2ᵈ = 3. Trouve d.

d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585 : plus qu’une ligne (1), moins qu’un triangle plein (2).

Joue au jeu dans un carré avec des sauts d’une moitié. Pourquoi les points remplissent-ils simplement le carré ?

Quatre copies d’un carré à moitié taille remplissent exactement le carré, sans vides, donc la forme que la règle laisse inchangée est le carré entier.