Le jeu du chaos : une fractale née du hasard
Objectifs
- Trouver des milieux avec des coordonnées.
- Décrire le triangle de Sierpiński et son autosimilarité.
- Voir comment une règle aléatoire peut tout de même donner une forme exacte.
Avant le film : prédire
Choisis au hasard l’un des sommets d’un triangle, saute à mi-chemin vers lui, marque l’endroit et recommence des milliers de fois. Obtiendras-tu un nuage au hasard, ou autre chose ?
Le film
Pure Randomness Draws a Perfect Fractal — The Chaos Game · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
La leçon, minute par minute
| 5 min | Prédire ; puis chaque élève fait cinq sauts à la main avec un dé sur un triangle imprimé. |
|---|---|
| 3 min | Regarder le film « Pure Randomness Draws a Perfect Fractal » (titre en anglais, sans paroles). |
| 20 min | Fiche d’exercices sur trois niveaux. |
| 10 min | Discussion : les questions ci-dessous. |
| 7 min | Démo en direct : le carré avec et sans la restriction, puis le pentagone à 0,618. |
La fiche d’exercices
Départ
Les sommets sont A (0 ; 0), B (8 ; 0) et C (4 ; 8). Pars de (4 ; 4) et saute à mi-chemin vers A, puis C, puis B, puis C. Note chaque point.
Réponse : (2 ; 2), (3 ; 5), (5,5 ; 2,5), (4,75 ; 5,25).
Comment trouve-t-on le point à mi-chemin entre deux points ?
Réponse : On prend la moyenne des valeurs x et la moyenne des valeurs y.
Base
Chaque étape du triangle de Sierpiński enlève le quart central de chaque triangle. Quelle part de l’aire reste-t-il après 1, 2 et 5 étapes ?
Réponse : 3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.
Combien y a-t-il de petits triangles après 5 étapes ?
Réponse : 3⁵ = 243.
Chaque saut divise par deux la distance à la fractale. Après 10 sauts, quelle part de la distance de départ reste-t-il ?
Réponse : (1/2)¹⁰ = 1/1 024, environ un millième.
Défi
Le triangle de Sierpiński est fait de 3 copies de lui-même à moitié taille. Sa dimension d vérifie 2ᵈ = 3. Trouve d.
Réponse : d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585 : plus qu’une ligne (1), moins qu’un triangle plein (2).
Joue au jeu dans un carré avec des sauts d’une moitié. Pourquoi les points remplissent-ils simplement le carré ?
Réponse : Quatre copies d’un carré à moitié taille remplissent exactement le carré, sans vides, donc la forme que la règle laisse inchangée est le carré entier.
Pour discuter
- Comment des choix au hasard peuvent-ils donner une forme exactement la même à chaque fois ?
- Qu’est-ce qui change si tu ne choisis jamais deux fois de suite le même sommet ?
- Où vois-tu, dans la nature, des formes faites de copies plus petites d’elles-mêmes ?
Libre d’utilisation avec ta classe. Si ça t’a servi, parles-en à un ou une collègue, ou Soutenir la chaîne →