Das Chaosspiel: ein Fraktal aus dem Zufall
Ziele: Die Lernenden können
- Mittelpunkte mit Koordinaten bestimmen
- das Sierpiński-Dreieck und seine Selbstähnlichkeit beschreiben
- erkennen, wie eine zufällige Regel trotzdem eine genaue Form ergeben kann
Vor dem Film: vorhersagen
Wähle zufällig eine der Ecken eines Dreiecks, spring auf halbem Weg zu ihr, markiere die Stelle und wiederhole das Tausende Male. Bekommst du eine zufällige Wolke oder etwas anderes?
Der Film
Pure Randomness Draws a Perfect Fractal — The Chaos Game · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
Die Stunde, Minute für Minute
| 5 min | Vorhersagen; dann machen alle mit einem Würfel fünf Sprünge von Hand auf einem ausgedruckten Dreieck. |
|---|---|
| 3 min | Schaut den Film „Pure Randomness Draws a Perfect Fractal“ an (Titel auf Englisch, ohne Sprechen). |
| 20 min | Arbeitsblatt auf drei Niveaus. |
| 10 min | Besprechen: die Fragen unten. |
| 7 min | Live-Demo: das Quadrat mit und ohne die Einschränkung, dann das Fünfeck mit 0,618. |
Das Arbeitsblatt
Einstieg
Die Ecken sind A (0; 0), B (8; 0) und C (4; 8). Starte bei (4; 4) und spring auf halbem Weg zu A, dann zu C, dann zu B, dann zu C. Schreib jeden Punkt auf.
Lösung: (2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).
Wie findest du den Punkt auf halbem Weg zwischen zwei Punkten?
Lösung: Nimm den Mittelwert der x-Werte und den Mittelwert der y-Werte.
Basis
Jede Stufe des Sierpiński-Dreiecks entfernt das mittlere Viertel jedes Dreiecks. Welcher Anteil der Fläche bleibt nach 1, 2 und 5 Stufen übrig?
Lösung: 3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.
Wie viele kleine Dreiecke gibt es nach 5 Stufen?
Lösung: 3⁵ = 243.
Jeder Sprung halbiert den Abstand zum Fraktal. Welcher Teil des Anfangsabstands bleibt nach 10 Sprüngen übrig?
Lösung: (1/2)¹⁰ = 1/1024, etwa ein Tausendstel.
Herausforderung
Das Sierpiński-Dreieck besteht aus 3 halb so großen Kopien seiner selbst. Seine Dimension d löst 2ᵈ = 3. Bestimme d.
Lösung: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: mehr als eine Linie (1), weniger als ein ausgefülltes Dreieck (2).
Spiel das Spiel in einem Quadrat mit Sprüngen um die Hälfte. Warum füllen die Punkte einfach das Quadrat?
Lösung: Vier halb so große Kopien eines Quadrats füllen das Quadrat genau, ohne Lücken, also ist die Form, die die Regel unverändert lässt, das ganze Quadrat.
Zum Besprechen
- Wie können zufällige Entscheidungen eine Form ergeben, die jedes Mal genau gleich ist?
- Was ändert sich, wenn du nie zweimal hintereinander dieselbe Ecke wählst?
- Wo in der Natur siehst du Formen, die aus kleineren Kopien ihrer selbst bestehen?
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