O jogo do caos: um fractal a partir do acaso
Objetivos
- Encontrar pontos médios com coordenadas.
- Descrever o triângulo de Sierpiński e a sua autossemelhança.
- Perceber como uma regra aleatória pode, mesmo assim, dar uma forma exata.
Antes do filme: prever
Escolha ao acaso um dos vértices de um triângulo, salte metade da distância até ele, marque o ponto e repita milhares de vezes. Vai obter uma nuvem ao acaso, ou outra coisa?
O filme
Pure Randomness Draws a Perfect Fractal — The Chaos Game · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
A aula, minuto a minuto
| 5 min | Prever; depois, cada um faz cinco saltos à mão, com um dado, num triângulo impresso. |
|---|---|
| 3 min | Ver o filme “Pure Randomness Draws a Perfect Fractal” (título em inglês, sem narração). |
| 20 min | Folha de exercícios em três níveis. |
| 10 min | Discutir: as perguntas abaixo. |
| 7 min | Demo ao vivo: o quadrado com e sem a restrição, depois o pentágono com 0,618. |
A folha de exercícios
Início
Os vértices são A (0, 0), B (8, 0) e C (4, 8). Comece em (4, 4) e salte metade da distância até A, depois até C, depois até B, depois até C. Escreva cada ponto.
Resposta: (2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).
Como se encontra o ponto a meio caminho entre dois pontos?
Resposta: Calcula-se a média dos valores de x e a média dos valores de y.
Base
Cada etapa do triângulo de Sierpiński retira o quarto do meio de cada triângulo. Que parte da área fica depois de 1, 2 e 5 etapas?
Resposta: 3/4 = 75%, 9/16 ≈ 56,3%, (3/4)⁵ ≈ 23,7%.
Quantos triângulos pequenos há depois de 5 etapas?
Resposta: 3⁵ = 243.
Cada salto reduz a metade a distância ao fractal. Depois de 10 saltos, que parte da distância inicial resta?
Resposta: (1/2)¹⁰ = 1/1024, cerca de um milésimo.
Desafio
O triângulo de Sierpiński é feito de 3 cópias de si mesmo com metade do tamanho. A sua dimensão d resolve 2ᵈ = 3. Encontre d.
Resposta: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: mais do que uma linha (1), menos do que um triângulo preenchido (2).
Jogue o jogo num quadrado com saltos de metade. Por que razão os pontos se limitam a preencher o quadrado?
Resposta: Quatro cópias de um quadrado com metade do tamanho preenchem exatamente o quadrado, sem espaços vazios, por isso a forma que a regra deixa igual é o quadrado inteiro.
Para discutir
- Como podem escolhas ao acaso dar uma forma que é exatamente igual todas as vezes?
- O que muda se nunca se escolher o mesmo vértice duas vezes seguidas?
- Onde na natureza se veem formas feitas de cópias menores de si mesmas?
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