Gra w chaos: fraktal z przypadku
Cele: uczeń potrafi
- wyznaczać środki odcinków na współrzędnych;
- opisać trójkąt Sierpińskiego i jego samopodobieństwo;
- zobaczyć, jak losowa reguła może dać dokładny kształt;
Przed filmem: przewidź
Wybierz losowo jeden z wierzchołków trójkąta, skocz w połowę drogi do niego, zaznacz to miejsce i powtórz tysiące razy. Wyjdzie przypadkowa chmura czy coś innego?
Film
Pure Randomness Draws a Perfect Fractal — The Chaos Game · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
Lekcja minuta po minucie
| 5 min | Przewidywanie; potem każdy robi ręcznie pięć skoków z kostką na wydrukowanym trójkącie. |
|---|---|
| 3 min | Obejrzyjcie film „Pure Randomness Draws a Perfect Fractal” (tytuł po angielsku, bez mówienia). |
| 20 min | Karta pracy na trzech poziomach. |
| 10 min | Rozmowa: pytania niżej. |
| 7 min | Demo na żywo: kwadrat z ograniczeniem i bez, potem pięciokąt przy 0,618. |
Karta pracy
Start
Wierzchołki to A (0; 0), B (8; 0) i C (4; 8). Zacznij w (4; 4) i skocz w połowę drogi do A, potem do C, potem do B, potem do C. Zapisz każdy punkt.
Odpowiedź: (2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).
Jak znaleźć punkt w połowie drogi między dwoma punktami?
Odpowiedź: Weź średnią wartości x i średnią wartości y.
Główny
Każdy etap trójkąta Sierpińskiego usuwa środkową ćwiartkę każdego trójkąta. Jaka część pola zostaje po 1, 2 i 5 etapach?
Odpowiedź: 3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.
Ile małych trójkątów jest po 5 etapach?
Odpowiedź: 3⁵ = 243.
Każdy skok zmniejsza o połowę odległość od fraktala. Jaka część początkowej odległości zostaje po 10 skokach?
Odpowiedź: (1/2)¹⁰ = 1/1024, około jednej tysięcznej.
Wyzwanie
Trójkąt Sierpińskiego składa się z 3 swoich kopii o połowę mniejszych. Jego wymiar d spełnia 2ᵈ = 3. Znajdź d.
Odpowiedź: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: więcej niż linia (1), mniej niż wypełniony trójkąt (2).
Zagraj w kwadracie ze skokami o połowę drogi. Dlaczego punkty po prostu wypełniają kwadrat?
Odpowiedź: Cztery kopie kwadratu o połowę mniejsze wypełniają kwadrat dokładnie, bez luk, więc kształtem, którego reguła nie zmienia, jest cały kwadrat.
Do rozmowy
- Jak losowe wybory mogą dać kształt, który za każdym razem jest dokładnie taki sam?
- Co się zmienia, jeśli nigdy nie wybierasz dwa razy z rzędu tego samego wierzchołka?
- Gdzie w przyrodzie widać kształty złożone z mniejszych kopii siebie?
Podstawa programowa
Punkty podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum i technikum, które ćwiczy ta lekcja, w brzmieniu z zpe.gov.pl (sprawdzone 5 listopada 2026).
- Matematyka, VI. Ciągi, zakres podstawowy, pkt 6: „stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;”
- Matematyka, VI. Ciągi, zakres podstawowy, pkt 4: „sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;”
- Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 2: „Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.”
- Informatyka, zakres rozszerzony, I–II, pkt 1 j (rozszerzenie: skrypt z kursu): „rekurencyjnego tworzenia fraktali;”
Do wolnego użytku na lekcji. Jeśli się przydało, powiedz o tym innym nauczycielom albo Wesprzyj kanał →