カオスゲーム：偶然から生まれるフラクタル
ねらい
- 座標を使って中点を求める
- シェルピンスキーの三角形とその自己相似性を説明する
- でたらめなルールでも、なぜ正確な形が生まれうるのかを理解する
動画の前に：予想する
三角形の頂点のひとつをでたらめに選び、そこへ向かって半分だけ跳び、その場所に印をつけて、これを何千回も繰り返します。でたらめな点の雲になるでしょうか、それとも別のものになるでしょうか？
動画
The Chaos Game: Pure Randomness Draws a Perfect Fractal · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/the-chaos-game-pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
授業の流れ（分ごと）
| 5 min | 予想。それから全員が、印刷した三角形の上で、さいころを使って手で5回跳んでみます。 |
|---|---|
| 3 min | 動画「Pure Randomness Draws a Perfect Fractal」を見ます（タイトルは英語、語りはありません）。 |
| 20 min | 3つのレベルのワークシート。 |
| 10 min | 話し合う：下の問い。 |
| 7 min | ライブデモ：制限ありとなしの正方形、そして0.618の五角形。 |
ワークシート
スタート
頂点は A (0, 0)、B (8, 0)、C (4, 8) です。(4, 4) から出発し、Aへ、次にCへ、次にBへ、次にCへと半分ずつ跳びます。それぞれの点を書きましょう。
答え： (2, 2)、(3, 5)、(5.5, 2.5)、(4.75, 5.25)。
2点のちょうど中間の点は、どうやって求めますか？
答え： x の値の平均と、y の値の平均をとります。
基本
シェルピンスキーの三角形は、段階ごとに、どの三角形からも真ん中の4分の1を取り除きます。1段階、2段階、5段階のあとに残る面積の割合はどれだけですか？
答え： 3/4 = 75 %、9/16 ≈ 56.3 %、(3/4)⁵ ≈ 23.7 %。
5段階のあと、小さな三角形はいくつありますか？
答え： 3⁵ = 243。
1回跳ぶごとに、フラクタルまでの距離は半分になります。10回跳んだあと、最初の距離のどれだけが残っていますか？
答え： (1/2)¹⁰ = 1/1,024、約1,000分の1です。
チャレンジ
シェルピンスキーの三角形は、半分の大きさの自分自身3つでできています。その次元dは 2ᵈ = 3 を満たします。dを求めましょう。
答え： d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585。線（1）より大きく、塗りつぶした三角形（2）より小さい値です。
正方形で、半分ずつ跳ぶゲームをしてみましょう。点がただ正方形を埋めるだけなのはなぜですか？
答え： 半分の大きさの正方形4つは、すき間なくちょうど正方形を埋めるので、ルールで変わらない形は正方形全体になるからです。
話し合う
- でたらめな選択から、毎回まったく同じ形が生まれるのはどうしてでしょうか？
- 同じ頂点を2回続けて選ばないようにすると、何が変わるでしょうか？
- 自然の中で、自分自身の小さなコピーでできた形をどこで見かけますか？
授業で自由に使えます。役に立ったら、ほかの先生にも教えてあげてください。チャンネルを応援 →