El juego del caos: un fractal a partir del azar
Objetivos: el alumnado aprende a
- hallar puntos medios con coordenadas;
- describir el triángulo de Sierpiński y su autosemejanza;
- ver cómo una regla aleatoria puede dar aun así una forma exacta;
Antes del vídeo: predice
Elige al azar uno de los vértices de un triángulo, salta a mitad de camino hacia él, marca el punto y repítelo miles de veces. ¿Obtendrás una nube al azar o algo distinto?
El vídeo
Pure Randomness Draws a Perfect Fractal — The Chaos Game · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
La clase, minuto a minuto
| 5 min | Predicción; después, cada estudiante hace cinco saltos a mano con un dado sobre un triángulo impreso. |
|---|---|
| 3 min | Ver el vídeo «Pure Randomness Draws a Perfect Fractal» (título en inglés, sin voz). |
| 20 min | Hoja de trabajo en tres niveles. |
| 10 min | Debate: las preguntas de abajo. |
| 7 min | Demo en directo: el cuadrado con y sin la restricción, y luego el pentágono con 0,618. |
La hoja de trabajo
Inicio
Los vértices son A (0; 0), B (8; 0) y C (4; 8). Empieza en (4; 4) y salta a mitad de camino hacia A, luego hacia C, luego hacia B y luego hacia C. Anota cada punto.
Respuesta: (2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).
¿Cómo se halla el punto que está a mitad de camino entre dos puntos?
Respuesta: Se hace la media de los valores x y la media de los valores y.
Base
Cada etapa del triángulo de Sierpiński quita la cuarta parte central de cada triángulo. ¿Qué parte del área queda tras 1, 2 y 5 etapas?
Respuesta: 3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.
¿Cuántos triángulos pequeños hay tras 5 etapas?
Respuesta: 3⁵ = 243.
Cada salto reduce a la mitad la distancia al fractal. Tras 10 saltos, ¿qué parte de la distancia inicial queda?
Respuesta: (1/2)¹⁰ = 1/1024, alrededor de una milésima.
Reto
El triángulo de Sierpiński está formado por 3 copias de sí mismo a la mitad de tamaño. Su dimensión d cumple 2ᵈ = 3. Halla d.
Respuesta: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: más que una línea (1), menos que un triángulo relleno (2).
Juega en un cuadrado con saltos de la mitad. ¿Por qué los puntos simplemente llenan el cuadrado?
Respuesta: Cuatro copias de un cuadrado a la mitad de tamaño llenan el cuadrado exactamente, sin huecos, así que la forma que la regla deja igual es el cuadrado entero.
Para debatir
- ¿Cómo pueden unas elecciones al azar dar una forma que es exactamente igual cada vez?
- ¿Qué cambia si nunca eliges el mismo vértice dos veces seguidas?
- ¿Dónde ves en la naturaleza formas hechas de copias más pequeñas de sí mismas?
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