카오스 게임: 우연에서 나오는 프랙털
학습 목표
- 좌표로 중점 구하기
- 시에르핀스키 삼각형과 그 자기 유사성 설명하기
- 무작위 규칙이 어떻게 정확한 모양을 만들 수 있는지 알기
영상 보기 전: 예측하기
삼각형의 꼭짓점 중 하나를 무작위로 골라 그쪽으로 절반만큼 점프하고, 그 자리를 표시하는 일을 수천 번 되풀이해요. 무작위한 점 구름이 나올까요, 아니면 다른 무언가가 나올까요?
영상
The Chaos Game: Pure Randomness Draws a Perfect Fractal · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/the-chaos-game-pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
분 단위 수업 흐름
| 5 min | 예측하기. 그다음 모두가 인쇄한 삼각형 위에서 주사위로 점프 다섯 번을 손으로 해 봐요. |
|---|---|
| 3 min | 영상 “Pure Randomness Draws a Perfect Fractal”을 봐요(제목은 영어, 말은 없어요). |
| 20 min | 세 단계 활동지. |
| 10 min | 토론: 아래 질문. |
| 7 min | 라이브 데모: 제한이 있을 때와 없을 때의 사각형, 그다음 0.618의 오각형. |
활동지
기초
꼭짓점은 A (0, 0), B (8, 0), C (4, 8)이에요. (4, 4)에서 출발해 A, 그다음 C, 그다음 B, 그다음 C를 향해 절반씩 점프하세요. 각 점을 적어 보세요.
정답: (2, 2), (3, 5), (5.5, 2.5), (4.75, 5.25).
두 점의 한가운데 점은 어떻게 구할까요?
정답: x 값들의 평균과 y 값들의 평균을 구해요.
기본
시에르핀스키 삼각형의 각 단계는 모든 삼각형에서 가운데 4분의 1을 없애요. 1단계, 2단계, 5단계 뒤에 넓이의 몇 %가 남을까요?
정답: 3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56.3 %, (3/4)⁵ ≈ 23.7 %.
5단계 뒤에는 작은 삼각형이 몇 개 있을까요?
정답: 3⁵ = 243.
점프할 때마다 프랙털까지의 거리가 절반이 돼요. 10번 점프한 뒤에는 처음 거리의 얼마가 남을까요?
정답: (1/2)¹⁰ = 1/1,024, 약 1,000분의 1.
도전
시에르핀스키 삼각형은 절반 크기의 자기 복사본 3개로 이루어져 있어요. 그 차원 d는 2ᵈ = 3을 만족해요. d를 구하세요.
정답: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585: 선(1)보다 크고, 꽉 찬 삼각형(2)보다 작아요.
사각형에서 절반 점프로 게임을 해 보세요. 점이 왜 사각형을 그냥 채울까요?
정답: 절반 크기의 사각형 복사본 네 개가 빈틈없이 사각형을 정확히 채우므로, 규칙이 바꾸지 않는 모양은 사각형 전체예요.
토론
- 무작위 선택이 어떻게 매번 똑같은 모양을 만들 수 있을까요?
- 같은 꼭짓점을 두 번 연속 고르지 않으면 무엇이 달라질까요?
- 자연에서 자기 자신의 더 작은 복사본으로 이루어진 모양을 어디에서 볼 수 있을까요?
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