Das Chaosspiel: ein Fraktal aus dem Zufall

Die Ecken sind A (0; 0), B (8; 0) und C (4; 8). Starte bei (4; 4) und spring auf halbem Weg zu A, dann zu C, dann zu B, dann zu C. Schreib jeden Punkt auf.

(2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).

Wie findest du den Punkt auf halbem Weg zwischen zwei Punkten?

Nimm den Mittelwert der x-Werte und den Mittelwert der y-Werte.

Jede Stufe des Sierpiński-Dreiecks entfernt das mittlere Viertel jedes Dreiecks. Welcher Anteil der Fläche bleibt nach 1, 2 und 5 Stufen übrig?

3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.

Wie viele kleine Dreiecke gibt es nach 5 Stufen?

3⁵ = 243.

Jeder Sprung halbiert den Abstand zum Fraktal. Welcher Teil des Anfangsabstands bleibt nach 10 Sprüngen übrig?

(1/2)¹⁰ = 1/1024, etwa ein Tausendstel.

Das Sierpiński-Dreieck besteht aus 3 halb so großen Kopien seiner selbst. Seine Dimension d löst 2ᵈ = 3. Bestimme d.

d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: mehr als eine Linie (1), weniger als ein ausgefülltes Dreieck (2).

Spiel das Spiel in einem Quadrat mit Sprüngen um die Hälfte. Warum füllen die Punkte einfach das Quadrat?

Vier halb so große Kopien eines Quadrats füllen das Quadrat genau, ohne Lücken, also ist die Form, die die Regel unverändert lässt, das ganze Quadrat.