Hypnotic Patterns
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Física · Onda de pêndulos

Por que razão 24 pêndulos perdem o compasso e voltam a alinhar-se

A regra

Pêndulos de comprimentos ligeiramente diferentes perdem o compasso, desenham ondas e voltam a alinhar-se.

É reproduzido a partir do YouTube depois de um clique.

24 Pendulums Fall Out of Sync Then Snap Back Perfectly
Demo ao vivo · funciona no navegador

Experimente: mude a regra

4,0 s
24

4,0 s: pêndulos vizinhos estão separados por 4,0/60 de oscilação, e a fila desenha uma onda.

Por que razão funciona

Cada pêndulo é um pouco mais curto do que o anterior, por isso oscila um pouco mais depressa. Postos em movimento juntos, separam-se em ondas, serpentes e um aparente caos, e passado exatamente um minuto estão todos outra vez alinhados.

Tₙ = 60 s ÷ nLₙ = g · (Tₙ ÷ 2π)²n = 51, 52, … 74

Construa-o em Python

Python 3 · numpy · matplotlib

A fila de 24 pesos aos 0, 15, 20 e 30 segundos, e os seus comprimentos.

pendulum-wave.py 
"""Pendulum wave: 24 pendulums making 51, 52, ... 74 swings in 60 seconds.
Run: python pendulum-wave.py   (needs: pip install numpy matplotlib)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

g, cycle = 9.81, 60.0  # gravity in m/s^2, seconds until they are back in step
n = np.arange(51, 75)  # swings per cycle, one more for each pendulum
period = cycle / n
length = g * (period / (2 * np.pi)) ** 2  # small swings: T = 2 pi sqrt(L / g)
print("lengths in cm:", np.round(length * 100, 1))

fig, axes = plt.subplots(1, 4, figsize=(12, 4), sharey=True)
for ax, t in zip(axes, [0, 15, 20, 30]):
    swing = np.cos(2 * np.pi * t / period)  # where each bob is, from -1 to 1
    ax.scatter(swing, np.arange(len(n)), c=swing, cmap="cool", s=40)
    ax.set_title(f"t = {t} s")
    ax.set_xlim(-1.2, 1.2)
    ax.axis("off")
plt.show()

# Try: t = 60 s (or 75, 80, 90): the same pictures again, as every count is whole

Experimente: Some 60 aos tempos: a fila volta a estar alinhada, como no início.

Aprenda este script linha a linha, com exercícios e um quiz → · execute-o no Google Colab (em inglês) →

A matemática, tal como o filme a conta

Ler as notas do próprio filme (do YouTube, em inglês)

Each of the 24 pendulums is slightly shorter than the one before it, tuned so that in one minute the longest completes exactly 51 swings, the next 52, and so on up to 74. Because every count is a whole number, all 24 arrive back at their starting point together at the 60-second mark — perfectly in step. In between, the row drifts apart by fixed fractions of a swing: at 30 s neighbours differ by half a cycle, so odd and even pendulums are exactly opposite (that is the moment the colours split into two groups); at 20 s they form three groups, at 15 s four, and so on.

The travelling "snake" you see is nothing more than those small fractions adding up along the row. The lengths come from the exact period of a real pendulum, T = 4·√(L/g)·K(sin²(θ₀/2)), with K the complete elliptic integral, and the animation integrates the full non-linear equation of motion rather than the small-angle approximation — so the 60-second return is exact, not approximate. Colour is position: teal on one side of centre, pink on the other, white as a bob crosses the middle at full speed.

The second minute shows the very same motion while the camera rises to a bird's-eye view.

Da descrição de 24 Pendulums Fall Out of Sync (em inglês).

Shorts

Fontes