Por que razão bolas ao acaso formam sempre uma curva em sino
Cada bola vai para a esquerda ou para a direita ao acaso. Milhares delas desenham, mesmo assim, a mesma curva em sino.
É reproduzido a partir do YouTube depois de um clique.
Experimente: mude a regra
Lance algumas bolas. A curva branca mostra onde se devem acumular.
Por que razão funciona
Em cada pino, a bola desvia-se para a esquerda ou para a direita ao acaso. Uma bola sozinha não diz nada, mas milhares acumulam-se sempre na mesma forma de sino, porque há bem mais caminhos para cair no meio do que nas pontas.
P(k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏcentro = n·pdispersão = √(n·p·(1 − p))
Construa-o em Python
Python 3 · numpy · matplotlib5000 bolas através de 12 filas, com os compartimentos sobre a curva binomial.
"""Galton board: every ball goes left or right at random at each of 12 rows of pegs.
Run: python galton-board.py (needs: pip install numpy matplotlib)
"""
from math import comb
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use("dark_background")
rows, balls, p = 12, 5000, 0.5 # p: the chance of bouncing right
rng = np.random.default_rng()
bins = (rng.random((balls, rows)) < p).sum(axis=1) # a ball's bin = how often it went right
counts = np.bincount(bins, minlength=rows + 1)
k = np.arange(rows + 1)
expected = [balls * comb(rows, i) * p**i * (1 - p) ** (rows - i) for i in k] # the binomial curve
plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.bar(k, counts, color="#5eead4", label="balls")
plt.xlabel("bin = times the ball went right")
plt.plot(k, expected, color="white", label="C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)")
plt.legend()
plt.show()
# Try: p = 0.65 tilts the board; rows = 24 makes the bell narrower for its width
Experimente: Defina p = 0.65 para inclinar o tabuleiro, ou rows = 24: o sino desloca-se e depois estreita.
Aprenda este script linha a linha, com exercícios e um quiz → · execute-o no Google Colab (em inglês) →
Para professores: um plano de aula de 45 minutos e uma folha de exercícios em três níveis →
A matemática, tal como o filme a conta
Ler as notas do próprio filme (do YouTube, em inglês)
At each peg a ball goes left or right with equal chance, independently of everything before. After 12 rows its bin is simply the number of times it went right — 12 coin flips. There is exactly one route to the far-left bin (left, left, left… twelve times) out of 4,096 possible routes, but 924 different routes to the centre bin (any six lefts and six rights).
More routes means more balls, and the route counts are the numbers of Pascal's triangle: 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924… Plotted, they form the binomial distribution, which for many flips becomes the normal "bell" curve — de Moivre found this in 1733, and Francis Galton built this board in 1876 to show it. In the second act every peg is rigged to send 65% of balls right: the bell does not break, it just moves to 12 × 0.65 = 7.8. In the third act each ball flips 24 coins instead of 12: relative to the board, the bell gets narrower, because the spread grows only with the square root of the number of flips.
The white curve is drawn before the balls arrive; every ball's route is a genuine random draw, and the run shown is one take chosen for how cleanly it fills the curve.
Colour is route: balls that went left more than expected are teal, right more than expected pink, right on target white.
Da descrição de Random Balls Build a Perfect Bell Curve (em inglês).
