Lição 3: Acaso e contagem

"""Galton board: every ball goes left or right at random at each of 12 rows of pegs.
Run: python galton-board.py   (needs: pip install numpy matplotlib)
"""
from math import comb

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

rows, balls, p = 12, 5000, 0.5  # p: the chance of bouncing right
rng = np.random.default_rng()

bins = (rng.random((balls, rows)) < p).sum(axis=1)  # a ball's bin = how often it went right
counts = np.bincount(bins, minlength=rows + 1)

k = np.arange(rows + 1)
expected = [balls * comb(rows, i) * p**i * (1 - p) ** (rows - i) for i in k]  # the binomial curve

plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.bar(k, counts, color="#5eead4", label="balls")
plt.xlabel("bin = times the ball went right")
plt.plot(k, expected, color="white", label="C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)")
plt.legend()
plt.show()

# Try: p = 0.65 tilts the board; rows = 24 makes the bell narrower for its width

Não tem Python neste computador? O notebook executa o mesmo script, os exercícios e as respostas no navegador, no Google Colab. O notebook está em inglês.

Linha a linha

1. rng = np.random.default_rng()

   O gerador de números aleatórios do numpy. Dê-lhe um número, default_rng(1), e cada execução dá os mesmos números “aleatórios”.

2. bins = (rng.random((balls, rows)) < p).sum(axis=1)

   Uma tabela de 5000 × 12 números aleatórios entre 0 e 1. Cada um abaixo de p é True, um desvio para a direita; somar uma linha conta os seus True, e isso é o compartimento da bola.

3. counts = np.bincount(bins, minlength=rows + 1)

   Quantas bolas caíram em cada compartimento, de 0 a 12; minlength garante que os compartimentos vazios das pontas contam como 0.

4. expected = [balls * comb(rows, i) * p**i * (1 - p) ** (rows - i) for i in k]

   Uma compreensão de lista: a fórmula binomial para cada compartimento i, vezes o número de bolas.

5. plt.bar(k, counts, color="#5eead4", label="balls")

   Uma barra por compartimento. A linha branca desenhada a seguir é a fórmula, para comparar.

Experimente

1. Execute o script duas vezes. As barras são iguais? Depois faça com que todas as execuções sejam iguais.

   Pista

   Dê um número a default_rng.

   Resposta

   As barras mudam um pouco de cada vez. rng = np.random.default_rng(1) dá sempre a mesma execução.

2. Quantas de 5000 bolas deveriam cair no compartimento central com 12 filas?

   Pista

   A parte do compartimento central é comb(12, 6) / 2**12.

   Resposta

   5000 × 924 ÷ 4096 ≈ 1128.

3. Incline o tabuleiro com p = 0.65. Onde está agora o centro do sino?

   Pista

   O centro é rows · p.

   Resposta

   12 × 0,65 = 7,8, por isso o pico passa para os compartimentos 7 e 8.

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