Leçon 3 : Hasard et comptage

"""Galton board: every ball goes left or right at random at each of 12 rows of pegs.
Run: python galton-board.py   (needs: pip install numpy matplotlib)
"""
from math import comb

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

rows, balls, p = 12, 5000, 0.5  # p: the chance of bouncing right
rng = np.random.default_rng()

bins = (rng.random((balls, rows)) < p).sum(axis=1)  # a ball's bin = how often it went right
counts = np.bincount(bins, minlength=rows + 1)

k = np.arange(rows + 1)
expected = [balls * comb(rows, i) * p**i * (1 - p) ** (rows - i) for i in k]  # the binomial curve

plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.bar(k, counts, color="#5eead4", label="balls")
plt.xlabel("bin = times the ball went right")
plt.plot(k, expected, color="white", label="C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)")
plt.legend()
plt.show()

# Try: p = 0.65 tilts the board; rows = 24 makes the bell narrower for its width

Pas de Python sur cet ordinateur ? Le notebook exécute le même script, les exercices et les réponses dans ton navigateur, sur Google Colab. Le notebook est en anglais.

Ligne par ligne

1. rng = np.random.default_rng()

   Le générateur de nombres aléatoires de numpy. Donne-lui un nombre, default_rng(1), et chaque exécution donne les mêmes nombres « aléatoires ».

2. bins = (rng.random((balls, rows)) < p).sum(axis=1)

   Un tableau de 5 000 × 12 nombres aléatoires entre 0 et 1. Chacun en dessous de p vaut True, un rebond vers la droite ; additionner une ligne compte ses True, ce qui donne la case de la bille.

3. counts = np.bincount(bins, minlength=rows + 1)

   Combien de billes sont tombées dans chaque case de 0 à 12 ; minlength garantit que les cases vides des bords comptent pour 0.

4. expected = [balls * comb(rows, i) * p**i * (1 - p) ** (rows - i) for i in k]

   Une liste en compréhension : la formule binomiale pour chaque case i, multipliée par le nombre de billes.

5. plt.bar(k, counts, color="#5eead4", label="balls")

   Une barre par case. La ligne blanche tracée ensuite est la formule, pour comparer.

À toi de jouer

1. Lance le script deux fois. Les barres sont-elles les mêmes ? Puis fais que chaque exécution soit identique.

   Indice

   Donne un nombre à default_rng.

   Réponse

   Les barres changent un peu à chaque fois. rng = np.random.default_rng(1) donne la même exécution à chaque fois.

2. Combien de billes sur 5 000 devraient tomber dans la case du centre avec 12 rangées ?

   Indice

   La part de la case du centre est comb(12, 6) / 2**12.

   Réponse

   5000 × 924 ÷ 4096 ≈ 1128.

3. Penche la planche avec p = 0.65. Où est maintenant le centre de la cloche ?

   Indice

   Le centre est rows · p.

   Réponse

   12 × 0,65 = 7,8, donc le pic se déplace vers les cases 7 et 8.

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