Leçon 4 : Des boucles qui se souviennent

"""Chaos game: jump a part r of the way to a random corner of a polygon, again and again.
Run: python chaos-game.py   (needs: pip install numpy matplotlib)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

corners, r, no_repeat = 3, 0.5, False  # triangle, halfway: the Sierpinski triangle
steps = 60000
rng = np.random.default_rng()

angles = np.pi / 2 + 2 * np.pi * np.arange(corners) / corners
vertex = np.column_stack([np.cos(angles), np.sin(angles)])

points, chosen = np.zeros((steps, 2)), np.zeros(steps, dtype=int)
x, last = np.array([0.0, 0.0]), -1
for i in range(steps):
    c = rng.integers(corners)
    while no_repeat and c == last:  # the restricted game: never the same corner twice
        c = rng.integers(corners)
    x = x + r * (vertex[c] - x)  # the whole rule
    points[i], chosen[i], last = x, c, c

plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.scatter(points[20:, 0], points[20:, 1], s=0.3, c=chosen[20:], cmap="rainbow")
plt.axis("equal")
plt.axis("off")
plt.show()

# Try: corners, r = 5, 0.618 (a pentagon) or corners, no_repeat = 4, True (a square, restricted)

Pas de Python sur cet ordinateur ? Le notebook exécute le même script, les exercices et les réponses dans ton navigateur, sur Google Colab. Le notebook est en anglais.

Ligne par ligne

1. vertex = np.column_stack([np.cos(angles), np.sin(angles)])

   Les sommets du polygone : leurs valeurs x et y côte à côte, une ligne par sommet.

2. c = rng.integers(corners)

   Un nombre entier aléatoire de 0 à corners − 1 : le sommet vers lequel sauter.

3. while no_repeat and c == last:

   Le jeu avec restriction : tant que le nouveau sommet est le même que le dernier, on tire à nouveau.

4. x = x + r * (vertex[c] - x)

   La règle : avancer de la fraction r du chemin entre le point et le sommet. Avec r = 0.5, à mi-chemin.

5. points[i], chosen[i], last = x, c, c

   Garder le point et son sommet, et retenir le sommet pour l’étape suivante.

6. plt.scatter(points[20:, 0], points[20:, 1], s=0.3, c=chosen[20:], cmap="rainbow")

   Laisser de côté les 20 premiers points, encore en route vers la fractale, et colorer les autres selon leur sommet.

À toi de jouer

1. Dessine un pentagone dont les cinq copies se touchent tout juste.

   Indice

   Change corners et r sur une seule ligne.

   Réponse

   corners, r, no_repeat = 5, 0.618, False

2. Pourquoi le dessin laisse-t-il de côté les 20 premiers points ?

   Indice

   Où le point commence-t-il ?

   Réponse

   Il commence au centre, qui n’est pas sur la fractale. Chaque saut divise par deux sa distance à la fractale, donc après 20 sauts il en est à moins d’un millionième (2⁻²⁰) de la taille de l’image.

3. Joue au jeu du carré avec et sans no_repeat. Qu’est-ce qui change ?

   Indice

   corners = 4, r = 0.5.

   Réponse

   Sans la restriction, les points remplissent simplement le carré ; avec no_repeat = True, une fractale apparaît.

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