Por qué las bolas al azar siempre forman una campana
Cada bola va a la izquierda o a la derecha al azar. Aun así, miles de bolas dibujan siempre la misma campana.
Se reproduce desde YouTube tras hacer clic.
Pruébalo: cambia la regla
Suelta algunas bolas. La curva blanca muestra dónde deberían amontonarse.
Por qué funciona
En cada clavo, una bola rebota a la izquierda o a la derecha al azar. Una sola bola no dice nada, pero miles se amontonan siempre en la misma forma de campana, porque hay muchas más maneras de caer en el centro que en los bordes.
P(k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏcentro = n·pdispersión = √(n·p·(1 − p))
Constrúyelo tú
Python 3 · numpy · matplotlib5000 bolas a través de 12 filas, sus casillas frente a la curva binomial.
"""Galton board: every ball goes left or right at random at each of 12 rows of pegs.
Run: python galton-board.py (needs: pip install numpy matplotlib)
"""
from math import comb
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use("dark_background")
rows, balls, p = 12, 5000, 0.5 # p: the chance of bouncing right
rng = np.random.default_rng()
bins = (rng.random((balls, rows)) < p).sum(axis=1) # a ball's bin = how often it went right
counts = np.bincount(bins, minlength=rows + 1)
k = np.arange(rows + 1)
expected = [balls * comb(rows, i) * p**i * (1 - p) ** (rows - i) for i in k] # the binomial curve
plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.bar(k, counts, color="#5eead4", label="balls")
plt.xlabel("bin = times the ball went right")
plt.plot(k, expected, color="white", label="C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)")
plt.legend()
plt.show()
# Try: p = 0.65 tilts the board; rows = 24 makes the bell narrower for its width
Prueba: Pon p = 0.65 para inclinar el tablero, o rows = 24: la campana se desplaza y luego se estrecha.
Aprende este script línea a línea, con ejercicios y un cuestionario → · ejecútalo en Google Colab (en inglés) →
Para docentes: un plan de clase de 45 minutos y una hoja de trabajo en tres niveles →
Las matemáticas, tal como las cuenta el vídeo
Lee las notas del propio vídeo (de YouTube, en inglés)
At each peg a ball goes left or right with equal chance, independently of everything before. After 12 rows its bin is simply the number of times it went right — 12 coin flips. There is exactly one route to the far-left bin (left, left, left… twelve times) out of 4,096 possible routes, but 924 different routes to the centre bin (any six lefts and six rights).
More routes means more balls, and the route counts are the numbers of Pascal's triangle: 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924… Plotted, they form the binomial distribution, which for many flips becomes the normal "bell" curve — de Moivre found this in 1733, and Francis Galton built this board in 1876 to show it. In the second act every peg is rigged to send 65% of balls right: the bell does not break, it just moves to 12 × 0.65 = 7.8. In the third act each ball flips 24 coins instead of 12: relative to the board, the bell gets narrower, because the spread grows only with the square root of the number of flips.
The white curve is drawn before the balls arrive; every ball's route is a genuine random draw, and the run shown is one take chosen for how cleanly it fills the curve.
Colour is route: balls that went left more than expected are teal, right more than expected pink, right on target white.
De la descripción de Random Balls Build a Perfect Bell Curve (en inglés).
