Fibonacci num girassol
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Que fração de uma volta completa é 180°? E 120°? 144°? 135°?
1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Quantos raios retos dá cada um destes ângulos?
2, 3, 5 e 8: o denominador da fração.
Por que razão uma fração de volta forma sempre raios?
Depois de tantas sementes quanto o denominador, as rotações somam um número inteiro de voltas, por isso a semente seguinte volta a cair no primeiro raio.
Base
Calcule 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 e 55/34 com três casas decimais. O que nota?
1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: as razões aproximam-se da proporção áurea φ ≈ 1,618 pelos dois lados.
Calcule 360° ÷ φ², com φ = 1,618034.
360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
O ângulo de ouro é 0,381966 de uma volta. Multiplique por 13, 21 e 34. A que distância fica cada resultado de um número inteiro?
4,9656; 8,0213; 12,9868: a 0,034; 0,021 e 0,013 de volta. Sementes separadas por 21 ou 34 quase se alinham, e isso forma as espirais.
Desafio
Mostre que 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², usando φ² = φ + 1.
De φ² = φ + 1, dividindo por φ: φ = 1 + 1/φ, logo φ − 1 = 1/φ. Então 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
Por que razão os girassóis mostram 21 e 34 espirais e não 20 e 30?
As espirais aparecem entre sementes que quase se alinham, e, para o ângulo de ouro, essas estão separadas por um número de Fibonacci: 13, 21, 34, 55…