Fibonacci w słoneczniku

Jaką częścią pełnego obrotu jest 180°? 120°? 144°? 135°?

1/2, 1/3, 2/5, 3/8.

Ile prostych ramion daje każdy z tych kątów?

2, 3, 5 i 8: tyle, ile wynosi mianownik ułamka.

Dlaczego ułamek obrotu zawsze tworzy ramiona?

Po tylu nasionach, ile wynosi mianownik, obroty składają się na całkowitą liczbę obrotów, więc następne nasienie znów trafia na pierwsze ramię.

Oblicz 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 i 55/34 z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Co zauważasz?

1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: ilorazy zbliżają się do złotej proporcji φ ≈ 1,618 z obu stron.

Oblicz 360° ÷ φ², gdzie φ = 1,618034.

360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.

Złoty kąt to 0,381966 obrotu. Pomnóż przez 13, 21 i 34. Jak daleko każdy wynik jest od liczby całkowitej?

4,9656; 8,0213; 12,9868: 0,034, 0,021 i 0,013 obrotu różnicy. Nasiona oddalone o 21 albo 34 prawie leżą w linii, i stąd biorą się spirale.

Wykaż, że 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², korzystając z φ² = φ + 1.

Z φ² = φ + 1 po podzieleniu przez φ: φ = 1 + 1/φ, więc φ − 1 = 1/φ. Wtedy 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².

Dlaczego na słonecznikach widać 21 i 34 spirale, a nie 20 i 30?

Spirale powstają między nasionami, które prawie leżą w linii, a przy złotym kącie są one oddalone o liczbę Fibonacciego: 13, 21, 34, 55…