Fibonacci w słoneczniku
Cele: uczeń potrafi
- zobaczyć, jak ułamek obrotu tworzy ramiona;
- poznać złotą proporcję jako granicę ilorazów liczb Fibonacciego;
- wyjaśnić, dlaczego złoty kąt równo wypełnia kwiat;
Przed filmem: przewidź
Nasiona kładziemy po kolei, każde obrócone o ten sam kąt względem poprzedniego. Jaki kształt wyjdzie przy pół obrotu (180°)? A przy jednej trzeciej obrotu (120°)?
Film
Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals
Lekcja minuta po minucie
| 5 min | Przewidywanie: szkice dla 180° i 120°; poproś o zgadnięcie „najlepszego” kąta. |
|---|---|
| 3 min | Obejrzyjcie Short „Why do sunflowers turn every seed 137.5°?” (po angielsku; obraz mówi sam za siebie). |
| 20 min | Karta pracy na trzech poziomach. |
| 10 min | Rozmowa: pytania niżej. |
| 7 min | Demo na żywo: 137,5°, potem 144° i 135° na tablicy; policzcie razem ramiona. |
Karta pracy
Start
Jaką częścią pełnego obrotu jest 180°? 120°? 144°? 135°?
Odpowiedź: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Ile prostych ramion daje każdy z tych kątów?
Odpowiedź: 2, 3, 5 i 8: tyle, ile wynosi mianownik ułamka.
Dlaczego ułamek obrotu zawsze tworzy ramiona?
Odpowiedź: Po tylu nasionach, ile wynosi mianownik, obroty składają się na całkowitą liczbę obrotów, więc następne nasienie znów trafia na pierwsze ramię.
Główny
Oblicz 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 i 55/34 z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Co zauważasz?
Odpowiedź: 1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: ilorazy zbliżają się do złotej proporcji φ ≈ 1,618 z obu stron.
Oblicz 360° ÷ φ², gdzie φ = 1,618034.
Odpowiedź: 360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
Złoty kąt to 0,381966 obrotu. Pomnóż przez 13, 21 i 34. Jak daleko każdy wynik jest od liczby całkowitej?
Odpowiedź: 4,9656; 8,0213; 12,9868: 0,034, 0,021 i 0,013 obrotu różnicy. Nasiona oddalone o 21 albo 34 prawie leżą w linii, i stąd biorą się spirale.
Wyzwanie
Wykaż, że 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², korzystając z φ² = φ + 1.
Odpowiedź: Z φ² = φ + 1 po podzieleniu przez φ: φ = 1 + 1/φ, więc φ − 1 = 1/φ. Wtedy 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
Dlaczego na słonecznikach widać 21 i 34 spirale, a nie 20 i 30?
Odpowiedź: Spirale powstają między nasionami, które prawie leżą w linii, a przy złotym kącie są one oddalone o liczbę Fibonacciego: 13, 21, 34, 55…
Do rozmowy
- Dlaczego roślinie opłaca się nie zostawiać luk między nasionami?
- Dlaczego żaden ułamek obrotu nie sprawdza się tak dobrze jak złoty kąt?
- Gdzie jeszcze spotkaliście liczby Fibonacciego?
Podstawa programowa
Punkty podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum i technikum, które ćwiczy ta lekcja, w brzmieniu z zpe.gov.pl (sprawdzone 5 listopada 2026).
- Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 2: „Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.”
- Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 1 (Wyzwanie): „Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.”
- Informatyka, zakres podstawowy, I, pkt 2 d (rozszerzenie: ilorazy w pętli): „obliczania wartości elementów ciągu metodą iteracyjną w tym wartości elementów ciągu Fibonacciego;”
Do wolnego użytku na lekcji. Jeśli się przydało, powiedz o tym innym nauczycielom albo Wesprzyj kanał →