Fibonacci dans un tournesol
Départ
Quelle fraction d’un tour complet font 180° ? 120° ? 144° ? 135° ?
1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Combien de rayons droits donne chacun de ces angles ?
2, 3, 5 et 8 : le dénominateur de la fraction.
Pourquoi une fraction de tour fait-elle toujours des rayons ?
Après autant de graines que le dénominateur, les rotations font en tout un nombre entier de tours, donc la graine suivante retombe sur le premier rayon.
Base
Calcule 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 et 55/34 à trois décimales. Que remarques-tu ?
1,600, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618 : les rapports se rapprochent du nombre d’or φ ≈ 1,618 des deux côtés.
Calcule 360° ÷ φ², avec φ = 1,618034.
360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
L’angle d’or vaut 0,381966 de tour. Multiplie par 13, 21 et 34. À quelle distance d’un nombre entier est chaque résultat ?
4,9656, 8,0213, 12,9868 : à 0,034, 0,021 et 0,013 de tour. Les graines espacées de 21 ou de 34 s’alignent presque, et cela fait les spirales.
Défi
Montre que 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², en utilisant φ² = φ + 1.
De φ² = φ + 1, en divisant par φ : φ = 1 + 1/φ, donc φ − 1 = 1/φ. Alors 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
Pourquoi les tournesols montrent-ils 21 et 34 spirales plutôt que 20 et 30 ?
Les spirales apparaissent entre des graines qui s’alignent presque, et pour l’angle d’or, celles-ci sont espacées d’un nombre de Fibonacci : 13, 21, 34, 55…