ひまわりの中のフィボナッチ
スタート
180°は1回転のどれだけの分数ですか？120°は？144°は？135°は？
1/2、1/3、2/5、3/8。
これらの角度は、それぞれ何本のまっすぐな筋をつくりますか？
2本、3本、5本、8本。分数の分母の数です。
1回転の分数が、いつも筋をつくるのはなぜですか？
分母と同じ数の種を置くと、回した角度の合計が整数回の回転になるので、次の種はまた最初の筋に乗るからです。
基本
8/5、13/8、21/13、34/21、55/34 を小数第3位まで計算しましょう。何に気づきますか？
1.600、1.625、1.615、1.619、1.618。比は両側から黄金比 φ ≈ 1.618 に近づいていきます。
φ = 1.618034 として、360° ÷ φ² を計算しましょう。
360 ÷ 2.618034 ≈ 137.5°。
黄金角は1回転の0.381966です。13、21、34を掛けましょう。それぞれ整数からどれだけ離れていますか？
4.9656、8.0213、12.9868。それぞれ1回転の0.034、0.021、0.013だけ離れています。21個や34個離れた種はほぼ一列に並び、それがらせんをつくります。
チャレンジ
φ² = φ + 1 を使って、360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ² を示しましょう。
φ² = φ + 1 をφで割ると φ = 1 + 1/φ なので、φ − 1 = 1/φ。すると 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ²。
ひまわりに見えるらせんが、20本と30本ではなく21本と34本なのはなぜですか？
らせんはほぼ一列に並ぶ種どうしのあいだに現れ、黄金角の場合、それはフィボナッチ数だけ離れた種どうしだからです：13、21、34、55…