Fibonacci en un girasol
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¿Qué fracción de una vuelta completa es 180°? ¿Y 120°? ¿Y 144°? ¿Y 135°?
1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
¿Cuántos radios rectos da cada uno de estos ángulos?
2, 3, 5 y 8: el denominador de la fracción.
¿Por qué una fracción de vuelta siempre forma radios?
Tras tantas semillas como indica el denominador, los giros suman un número entero de vueltas, así que la siguiente semilla vuelve a caer en el primer radio.
Base
Calcula 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 y 55/34 con tres decimales. ¿Qué observas?
1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: los cocientes se acercan al número áureo φ ≈ 1,618 por los dos lados.
Calcula 360° ÷ φ², con φ = 1,618034.
360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
El ángulo áureo es 0,381966 de vuelta. Multiplícalo por 13, 21 y 34. ¿A qué distancia está cada resultado de un número entero?
4,9656; 8,0213; 12,9868: a 0,034, 0,021 y 0,013 de vuelta. Las semillas separadas por 21 o 34 casi se alinean, y eso forma las espirales.
Reto
Demuestra que 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², usando φ² = φ + 1.
De φ² = φ + 1, dividiendo entre φ: φ = 1 + 1/φ, así que φ − 1 = 1/φ. Entonces 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
¿Por qué los girasoles muestran 21 y 34 espirales y no 20 y 30?
Las espirales aparecen entre semillas que casi se alinean, y con el ángulo áureo esas semillas están separadas por un número de Fibonacci: 13, 21, 34, 55…