Fibonacci en un girasol
Objetivos: el alumnado aprende a
- ver cómo una fracción de vuelta forma radios;
- conocer el número áureo como límite de los cocientes de Fibonacci;
- explicar por qué el ángulo áureo llena una flor por igual;
Antes del vídeo: predice
Se colocan semillas una a una, cada una girada el mismo ángulo respecto a la anterior. ¿Qué forma sale con media vuelta (180°)? ¿Y con un tercio de vuelta (120°)?
El vídeo
Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals
La clase, minuto a minuto
| 5 min | Predicción: bocetos para 180° y 120°; pedir que adivinen un ángulo «mejor». |
|---|---|
| 3 min | Ver el Short «Why do sunflowers turn every seed 137.5°?» (en inglés; la imagen habla por sí sola). |
| 20 min | Hoja de trabajo en tres niveles. |
| 10 min | Debate: las preguntas de abajo. |
| 7 min | Demo en directo: 137,5°, luego 144° y 135° en la pizarra; contar los radios entre todos. |
La hoja de trabajo
Inicio
¿Qué fracción de una vuelta completa es 180°? ¿Y 120°? ¿Y 144°? ¿Y 135°?
Respuesta: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
¿Cuántos radios rectos da cada uno de estos ángulos?
Respuesta: 2, 3, 5 y 8: el denominador de la fracción.
¿Por qué una fracción de vuelta siempre forma radios?
Respuesta: Tras tantas semillas como indica el denominador, los giros suman un número entero de vueltas, así que la siguiente semilla vuelve a caer en el primer radio.
Base
Calcula 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 y 55/34 con tres decimales. ¿Qué observas?
Respuesta: 1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: los cocientes se acercan al número áureo φ ≈ 1,618 por los dos lados.
Calcula 360° ÷ φ², con φ = 1,618034.
Respuesta: 360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
El ángulo áureo es 0,381966 de vuelta. Multiplícalo por 13, 21 y 34. ¿A qué distancia está cada resultado de un número entero?
Respuesta: 4,9656; 8,0213; 12,9868: a 0,034, 0,021 y 0,013 de vuelta. Las semillas separadas por 21 o 34 casi se alinean, y eso forma las espirales.
Reto
Demuestra que 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², usando φ² = φ + 1.
Respuesta: De φ² = φ + 1, dividiendo entre φ: φ = 1 + 1/φ, así que φ − 1 = 1/φ. Entonces 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
¿Por qué los girasoles muestran 21 y 34 espirales y no 20 y 30?
Respuesta: Las espirales aparecen entre semillas que casi se alinean, y con el ángulo áureo esas semillas están separadas por un número de Fibonacci: 13, 21, 34, 55…
Para debatir
- ¿Qué ganaría una planta con no dejar huecos entre sus semillas?
- ¿Por qué ninguna fracción de vuelta funciona tan bien como el ángulo áureo?
- ¿Dónde más te has encontrado los números de Fibonacci?
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