Fibonacci in der Sonnenblume
Ziele: Die Lernenden können
- sehen, wie ein Bruchteil einer Drehung Strahlen erzeugt
- den goldenen Schnitt als Grenzwert der Verhältnisse von Fibonacci-Zahlen kennenlernen
- erklären, warum der goldene Winkel eine Blüte gleichmäßig füllt
Vor dem Film: vorhersagen
Samen werden einer nach dem anderen gesetzt, jeder um denselben Winkel gegenüber dem vorigen gedreht. Welche Form entsteht bei einer halben Drehung (180°)? Bei einer Drittel-Drehung (120°)?
Der Film
Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals
Die Stunde, Minute für Minute
| 5 min | Vorhersagen: Skizzen für 180° und 120°; fragt nach einer Vermutung für einen „besten“ Winkel. |
|---|---|
| 3 min | Schaut den Short „Why do sunflowers turn every seed 137.5°?“ an (auf Englisch; das Bild spricht für sich). |
| 20 min | Arbeitsblatt auf drei Niveaus. |
| 10 min | Besprechen: die Fragen unten. |
| 7 min | Live-Demo: 137,5°, dann 144° und 135° an der Tafel; zählt die Strahlen gemeinsam. |
Das Arbeitsblatt
Einstieg
Welcher Bruchteil einer vollen Drehung sind 180°? 120°? 144°? 135°?
Lösung: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Wie viele gerade Strahlen ergibt jeder dieser Winkel?
Lösung: 2, 3, 5 und 8: der Nenner des Bruchs.
Warum ergibt ein Bruchteil einer Drehung immer Strahlen?
Lösung: Nach so vielen Samen, wie der Nenner angibt, ergeben die Drehungen zusammen eine ganze Zahl von Umdrehungen, also landet der nächste Samen wieder auf dem ersten Strahl.
Basis
Berechne 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 und 55/34 auf drei Nachkommastellen. Was fällt dir auf?
Lösung: 1,600, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618: Die Verhältnisse nähern sich von beiden Seiten dem goldenen Schnitt φ ≈ 1,618.
Berechne 360° ÷ φ² mit φ = 1,618034.
Lösung: 360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
Der goldene Winkel ist 0,381966 einer Drehung. Multipliziere mit 13, 21 und 34. Wie weit liegt jedes Ergebnis von einer ganzen Zahl entfernt?
Lösung: 4,9656, 8,0213, 12,9868: 0,034, 0,021 und 0,013 einer Drehung entfernt. Samen, die 21 oder 34 auseinanderliegen, stehen fast in einer Linie, und das ergibt die Spiralen.
Herausforderung
Zeige mit φ² = φ + 1, dass 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ².
Lösung: Aus φ² = φ + 1 folgt nach Division durch φ: φ = 1 + 1/φ, also φ − 1 = 1/φ. Dann ist 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
Warum zeigen Sonnenblumen 21 und 34 Spiralen statt 20 und 30?
Lösung: Spiralen entstehen zwischen Samen, die fast in einer Linie stehen, und beim goldenen Winkel liegen diese eine Fibonacci-Zahl auseinander: 13, 21, 34, 55…
Zum Besprechen
- Warum hätte eine Pflanze einen Vorteil davon, keine Lücken zwischen ihren Samen zu lassen?
- Warum kann kein Bruchteil einer Drehung so gut sein wie der goldene Winkel?
- Wo bist du den Fibonacci-Zahlen sonst schon begegnet?
Kostenlos für den Unterricht mit deiner Klasse. Wenn es geholfen hat, erzähl es einer anderen Lehrkraft, oder: Den Kanal unterstützen →