Fibonacci num girassol
Objetivos
- Ver como uma fração de volta forma raios.
- Conhecer a proporção áurea como o limite das razões de Fibonacci.
- Explicar por que razão o ângulo de ouro preenche uma flor por igual.
Antes do filme: prever
Colocam-se sementes uma a uma, cada uma girada o mesmo ângulo em relação à anterior. Que forma se obtém com meia volta (180°)? E com um terço de volta (120°)?
O filme
Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals
A aula, minuto a minuto
| 5 min | Prever: esboços para 180° e 120°; pedir um palpite sobre um ângulo “melhor”. |
|---|---|
| 3 min | Ver o Short “Why do sunflowers turn every seed 137.5°?” (em inglês; a imagem fala por si). |
| 20 min | Folha de exercícios em três níveis. |
| 10 min | Discutir: as perguntas abaixo. |
| 7 min | Demo ao vivo: 137,5°, depois 144° e 135° no quadro; contar os raios em conjunto. |
A folha de exercícios
Início
Que fração de uma volta completa é 180°? E 120°? 144°? 135°?
Resposta: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Quantos raios retos dá cada um destes ângulos?
Resposta: 2, 3, 5 e 8: o denominador da fração.
Por que razão uma fração de volta forma sempre raios?
Resposta: Depois de tantas sementes quanto o denominador, as rotações somam um número inteiro de voltas, por isso a semente seguinte volta a cair no primeiro raio.
Base
Calcule 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 e 55/34 com três casas decimais. O que nota?
Resposta: 1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: as razões aproximam-se da proporção áurea φ ≈ 1,618 pelos dois lados.
Calcule 360° ÷ φ², com φ = 1,618034.
Resposta: 360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
O ângulo de ouro é 0,381966 de uma volta. Multiplique por 13, 21 e 34. A que distância fica cada resultado de um número inteiro?
Resposta: 4,9656; 8,0213; 12,9868: a 0,034; 0,021 e 0,013 de volta. Sementes separadas por 21 ou 34 quase se alinham, e isso forma as espirais.
Desafio
Mostre que 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², usando φ² = φ + 1.
Resposta: De φ² = φ + 1, dividindo por φ: φ = 1 + 1/φ, logo φ − 1 = 1/φ. Então 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
Por que razão os girassóis mostram 21 e 34 espirais e não 20 e 30?
Resposta: As espirais aparecem entre sementes que quase se alinham, e, para o ângulo de ouro, essas estão separadas por um número de Fibonacci: 13, 21, 34, 55…
Para discutir
- Que vantagem teria uma planta em não deixar espaços vazios entre as sementes?
- Por que razão nenhuma fração de volta consegue ser tão boa como o ângulo de ouro?
- Onde mais já encontrou os números de Fibonacci?
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