Fibonacci in der Sonnenblume

Welcher Bruchteil einer vollen Drehung sind 180°? 120°? 144°? 135°?

1/2, 1/3, 2/5, 3/8.

Wie viele gerade Strahlen ergibt jeder dieser Winkel?

2, 3, 5 und 8: der Nenner des Bruchs.

Warum ergibt ein Bruchteil einer Drehung immer Strahlen?

Nach so vielen Samen, wie der Nenner angibt, ergeben die Drehungen zusammen eine ganze Zahl von Umdrehungen, also landet der nächste Samen wieder auf dem ersten Strahl.

Berechne 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 und 55/34 auf drei Nachkommastellen. Was fällt dir auf?

1,600, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618: Die Verhältnisse nähern sich von beiden Seiten dem goldenen Schnitt φ ≈ 1,618.

Berechne 360° ÷ φ² mit φ = 1,618034.

360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.

Der goldene Winkel ist 0,381966 einer Drehung. Multipliziere mit 13, 21 und 34. Wie weit liegt jedes Ergebnis von einer ganzen Zahl entfernt?

4,9656, 8,0213, 12,9868: 0,034, 0,021 und 0,013 einer Drehung entfernt. Samen, die 21 oder 34 auseinanderliegen, stehen fast in einer Linie, und das ergibt die Spiralen.

Zeige mit φ² = φ + 1, dass 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ².

Aus φ² = φ + 1 folgt nach Division durch φ: φ = 1 + 1/φ, also φ − 1 = 1/φ. Dann ist 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².

Warum zeigen Sonnenblumen 21 und 34 Spiralen statt 20 und 30?

Spiralen entstehen zwischen Samen, die fast in einer Linie stehen, und beim goldenen Winkel liegen diese eine Fibonacci-Zahl auseinander: 13, 21, 34, 55…