先生向け · 無料で印刷して授業に使えます 先生用パック：すべての授業をひとつのファイルに 授業4回分、シート12枚：各授業カードのあとに、そのワークシートと解答が続きます。すべて印刷するか、印刷画面で「PDFとして保存」を選ぶと、ひとつのファイルになります。
授業カード · 確率 · 15–18歳 · 45分 ガルトンボード：でたらめな跳ね返りから生まれる秩序 ねらい パスカルの三角形と二項係数で道の数を数える 道の数を確率に変える 多くの偶然の出来事が、なぜ予測できる形になるのかを理解する 動画の前に：予想する 玉1,000個が10段のくぎを通って落ちていきます。くぎに当たるたびに、玉は同じ確率で左か右へ進みます。玉がどこに積もると思うか、スケッチしてみましょう。
動画 Galton Board: 1,140 Random Balls Draw a Perfect Bell Curve · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/galton-board-1-140-random-balls-draw-a-perfect-bell-curve
授業の流れ（分ごと） 5 min 予想：生徒それぞれが玉の山をスケッチします。違うスケッチを2つか3つ、黒板に集めます。 3 min 動画を見て、スケッチと比べます。 20 min ペアでワークシート。ペアごとに自分のレベル（スタート、基本、チャレンジ）で取り組みます。 10 min 話し合う：下の問い。 7 min 黒板でライブデモ：ボードを60 %に傾けて段を増やし、予想を確かめます。
ワークシート スタート ボードには3段あります。玉が通りうる左右の道をすべて描きましょう。道は何通りありますか？
答え： 2 × 2 × 2 = 8通り。
8通りの道のうち、4つの箱それぞれに行き着くのは何通りですか？
答え： 1、3、3、1。両端の箱へは1通りずつ、真ん中の2つの箱へは3通りずつです。
玉が真ん中の2つの箱のどちらかに入る確率はいくつですか？
答え： 6 ÷ 8 = 75 %。
基本 10段のとき、玉1個が通りうる道は何通りありますか？
答え： 2¹⁰ = 1,024。
そのうち、真ん中の箱（右へのちょうど5回の跳ね返り）に行き着くのは何通りですか？
答え： C(10, 5) = 252。
真ん中の箱に入る確率はいくつですか？
答え： 252 ÷ 1,024 ≈ 24.6 %。
両端の2つの箱のどちらかに入る確率はいくつですか？
答え： 2 ÷ 1,024 ≈ 0.2 %。
玉1,000個のうち、およそいくつが箱4、5、6に入りますか？
答え： (210 + 252 + 210) ÷ 1,024 ≈ 65.6 % なので、約656個です。
チャレンジ 今度はどのくぎも、玉の60 %を右へ送ります。10段のとき、いちばん入りやすいのはどの箱で、その確率はいくつですか？
答え： 箱6：C(10, 6) · 0.6⁶ · 0.4⁴ ≈ 25.1 %。釣鐘の中心は 10 × 0.6 = 6 へ移ります。
段の数nが偶数のとき、真ん中の箱には玉の C(n, n/2) ÷ 2ⁿ が入ります。何段から、それが10 %を下回りますか？
答え： 64段からです：C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9.9 %。釣鐘が広がるので、真ん中の箱の割合は小さくなります。
話し合う 玉1個からは、ほとんど何もわかりません。それなのに、玉1,000個からほとんどすべてがわかるのはなぜでしょうか？ ほかにどこで釣鐘形の曲線に出会いますか？（身長、測定の誤差、テストの点数） どのくぎも玉の60 %を右へ送るとしたら、何が変わるでしょうか？ 授業で自由に使えます。役に立ったら、ほかの先生にも教えてあげてください。チャンネルを応援 →
動画の前に：予想する 玉1,000個が10段のくぎを通って落ちていきます。くぎに当たるたびに、玉は同じ確率で左か右へ進みます。玉がどこに積もると思うか、スケッチしてみましょう。
スタート ボードには3段あります。玉が通りうる左右の道をすべて描きましょう。道は何通りありますか？
8通りの道のうち、4つの箱それぞれに行き着くのは何通りですか？
玉が真ん中の2つの箱のどちらかに入る確率はいくつですか？
基本 10段のとき、玉1個が通りうる道は何通りありますか？
そのうち、真ん中の箱（右へのちょうど5回の跳ね返り）に行き着くのは何通りですか？
真ん中の箱に入る確率はいくつですか？
両端の2つの箱のどちらかに入る確率はいくつですか？
玉1,000個のうち、およそいくつが箱4、5、6に入りますか？
チャレンジ 今度はどのくぎも、玉の60 %を右へ送ります。10段のとき、いちばん入りやすいのはどの箱で、その確率はいくつですか？
段の数nが偶数のとき、真ん中の箱には玉の C(n, n/2) ÷ 2ⁿ が入ります。何段から、それが10 %を下回りますか？
解答 · 先生用 ガルトンボード：でたらめな跳ね返りから生まれる秩序 スタート ボードには3段あります。玉が通りうる左右の道をすべて描きましょう。道は何通りありますか？
2 × 2 × 2 = 8通り。
8通りの道のうち、4つの箱それぞれに行き着くのは何通りですか？
1、3、3、1。両端の箱へは1通りずつ、真ん中の2つの箱へは3通りずつです。
玉が真ん中の2つの箱のどちらかに入る確率はいくつですか？
6 ÷ 8 = 75 %。
基本 10段のとき、玉1個が通りうる道は何通りありますか？
2¹⁰ = 1,024。
そのうち、真ん中の箱（右へのちょうど5回の跳ね返り）に行き着くのは何通りですか？
C(10, 5) = 252。
真ん中の箱に入る確率はいくつですか？
252 ÷ 1,024 ≈ 24.6 %。
両端の2つの箱のどちらかに入る確率はいくつですか？
2 ÷ 1,024 ≈ 0.2 %。
玉1,000個のうち、およそいくつが箱4、5、6に入りますか？
(210 + 252 + 210) ÷ 1,024 ≈ 65.6 % なので、約656個です。
チャレンジ 今度はどのくぎも、玉の60 %を右へ送ります。10段のとき、いちばん入りやすいのはどの箱で、その確率はいくつですか？
箱6：C(10, 6) · 0.6⁶ · 0.4⁴ ≈ 25.1 %。釣鐘の中心は 10 × 0.6 = 6 へ移ります。
段の数nが偶数のとき、真ん中の箱には玉の C(n, n/2) ÷ 2ⁿ が入ります。何段から、それが10 %を下回りますか？
64段からです：C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9.9 %。釣鐘が広がるので、真ん中の箱の割合は小さくなります。
授業カード · 数と幾何 · 15–18歳 · 45分 ひまわりの中のフィボナッチ ねらい 1回転の分数が、どのように筋をつくるかを理解する フィボナッチ数の比の極限として黄金比に出会う 黄金角がなぜ花を均等に埋めるのかを説明する 動画の前に：予想する 種をひとつずつ、どれもひとつ前の種から同じ角度だけ回して置いていきます。半回転（180°）ではどんな形になるでしょうか？3分の1回転（120°）では？
動画 Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals
授業の流れ（分ごと） 5 min 予想：180°と120°のスケッチ。「いちばんよい」角度を予想してもらいます。 3 min Short「Why do sunflowers turn every seed 137.5°?」を見ます（英語ですが、映像だけで伝わります）。 20 min 3つのレベルのワークシート。 10 min 話し合う：下の問い。 7 min ライブデモ：137.5°、次に144°と135°を黒板に映し、いっしょに筋を数えます。
ワークシート スタート 180°は1回転のどれだけの分数ですか？120°は？144°は？135°は？
答え： 1/2、1/3、2/5、3/8。
これらの角度は、それぞれ何本のまっすぐな筋をつくりますか？
答え： 2本、3本、5本、8本。分数の分母の数です。
1回転の分数が、いつも筋をつくるのはなぜですか？
答え： 分母と同じ数の種を置くと、回した角度の合計が整数回の回転になるので、次の種はまた最初の筋に乗るからです。
基本 8/5、13/8、21/13、34/21、55/34 を小数第3位まで計算しましょう。何に気づきますか？
答え： 1.600、1.625、1.615、1.619、1.618。比は両側から黄金比 φ ≈ 1.618 に近づいていきます。
φ = 1.618034 として、360° ÷ φ² を計算しましょう。
答え： 360 ÷ 2.618034 ≈ 137.5°。
黄金角は1回転の0.381966です。13、21、34を掛けましょう。それぞれ整数からどれだけ離れていますか？
答え： 4.9656、8.0213、12.9868。それぞれ1回転の0.034、0.021、0.013だけ離れています。21個や34個離れた種はほぼ一列に並び、それがらせんをつくります。
チャレンジ φ² = φ + 1 を使って、360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ² を示しましょう。
答え： φ² = φ + 1 をφで割ると φ = 1 + 1/φ なので、φ − 1 = 1/φ。すると 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ²。
ひまわりに見えるらせんが、20本と30本ではなく21本と34本なのはなぜですか？
答え： らせんはほぼ一列に並ぶ種どうしのあいだに現れ、黄金角の場合、それはフィボナッチ数だけ離れた種どうしだからです：13、21、34、55…
話し合う 種と種のあいだにすき間を残さないことは、植物にとってなぜ得になるのでしょうか？ 1回転のどんな分数も、黄金角ほどうまくいかないのはなぜでしょうか？ ほかにどこでフィボナッチ数に出会ったことがありますか？ 授業で自由に使えます。役に立ったら、ほかの先生にも教えてあげてください。チャンネルを応援 →
動画の前に：予想する 種をひとつずつ、どれもひとつ前の種から同じ角度だけ回して置いていきます。半回転（180°）ではどんな形になるでしょうか？3分の1回転（120°）では？
スタート 180°は1回転のどれだけの分数ですか？120°は？144°は？135°は？
これらの角度は、それぞれ何本のまっすぐな筋をつくりますか？
1回転の分数が、いつも筋をつくるのはなぜですか？
基本 8/5、13/8、21/13、34/21、55/34 を小数第3位まで計算しましょう。何に気づきますか？
φ = 1.618034 として、360° ÷ φ² を計算しましょう。
黄金角は1回転の0.381966です。13、21、34を掛けましょう。それぞれ整数からどれだけ離れていますか？
チャレンジ φ² = φ + 1 を使って、360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ² を示しましょう。
ひまわりに見えるらせんが、20本と30本ではなく21本と34本なのはなぜですか？
スタート 180°は1回転のどれだけの分数ですか？120°は？144°は？135°は？
1/2、1/3、2/5、3/8。
これらの角度は、それぞれ何本のまっすぐな筋をつくりますか？
2本、3本、5本、8本。分数の分母の数です。
1回転の分数が、いつも筋をつくるのはなぜですか？
分母と同じ数の種を置くと、回した角度の合計が整数回の回転になるので、次の種はまた最初の筋に乗るからです。
基本 8/5、13/8、21/13、34/21、55/34 を小数第3位まで計算しましょう。何に気づきますか？
1.600、1.625、1.615、1.619、1.618。比は両側から黄金比 φ ≈ 1.618 に近づいていきます。
φ = 1.618034 として、360° ÷ φ² を計算しましょう。
360 ÷ 2.618034 ≈ 137.5°。
黄金角は1回転の0.381966です。13、21、34を掛けましょう。それぞれ整数からどれだけ離れていますか？
4.9656、8.0213、12.9868。それぞれ1回転の0.034、0.021、0.013だけ離れています。21個や34個離れた種はほぼ一列に並び、それがらせんをつくります。
チャレンジ φ² = φ + 1 を使って、360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ² を示しましょう。
φ² = φ + 1 をφで割ると φ = 1 + 1/φ なので、φ − 1 = 1/φ。すると 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ²。
ひまわりに見えるらせんが、20本と30本ではなく21本と34本なのはなぜですか？
らせんはほぼ一列に並ぶ種どうしのあいだに現れ、黄金角の場合、それはフィボナッチ数だけ離れた種どうしだからです：13、21、34、55…
授業カード · 剰余の算術 · 13–18歳 · 45分 円周上の掛け算 ねらい 余りで計算する（剰余の算術） カージオイドを、まっすぐな線の包絡線として描く 倍率と尖点の数を結びつける 動画の前に：予想する 円周上の10個の点に、0から9まで番号をつけます。各点nを点2nと結び、9を超えたら0に戻って数えます。点7はどの点と結ばれるでしょうか？
動画 Times Table on a Circle: One Rule Draws a Heart (Cardioid) · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/times-table-on-a-circle-one-rule-draws-a-heart-cardioid
授業の流れ（分ごと） 5 min 黒板に10個の点を描いて予想します。14 − 10 = 4 なので、7は4と結ばれることを確かめ合います。 3 min 動画「One Multiplication Rule Draws Every Shape」を見ます（タイトルは英語、語りはありません）。 20 min ワークシート。「スタート」の生徒は、10個の点の円を手で描きます。 10 min 話し合う：下の問い。 7 min ライブデモ：200個の点で2倍、3倍、4倍、そして101倍。
ワークシート スタート 点が10個で2倍のとき、0から9までの各点がどこへ行くかを書き出しましょう。
答え： 0→0、1→2、2→4、3→6、4→8、5→0、6→2、7→4、8→6、9→8。
10本の線を描きましょう。線が2本やってくるのはどの点ですか？
答え： 2、4、6、8には2本ずつ来ます。たとえば1と6はどちらも2へ行きます。0は自分自身へ行くので、点0には5からの1本だけが来ます。
基本 点が200個で2倍のとき、点150と点199はどこへ行きますか？
答え： 300 − 200 = 100、そして 398 − 200 = 198。
点が200個のとき、2倍で自分自身へ行くのはどの点ですか？3倍では？
答え： 2倍では点0だけです。2n = n には n = 0 が必要だからです。3倍では点0と点100です。2nが0か200でなければならないからです。
2倍、3倍、4倍では、尖点はそれぞれいくつですか？
答え： 1、2、3。カージオイド、ネフロイド、尖点が3つの曲線で、いつも k − 1 個です。
チャレンジ 点が200個のとき、101倍ではどの偶数の点も自分自身へ、どの奇数の点も真向かいへ送られることを示しましょう。
答え： 101n = 100n + n。nが偶数なら100nは200の倍数なので、点はnのままです。nが奇数なら100nは余り100を残すので、点は n + 100、つまり半周先になります。
点が200個のとき、201倍では何が描かれますか？それはなぜですか？
答え： 何も描かれません。201n = 200n + n なので、どの点も自分自身へ行き、どの線も長さがゼロになるからです。
話し合う まっすぐな線が、曲線のように見えるのはなぜでしょうか？ 200で割った余りだけが大事なのはなぜでしょうか？ 202倍では何が描かれるでしょうか？ 授業で自由に使えます。役に立ったら、ほかの先生にも教えてあげてください。チャンネルを応援 →
ワークシート · 剰余の算術
円周上の掛け算 名前：
動画の前に：予想する 円周上の10個の点に、0から9まで番号をつけます。各点nを点2nと結び、9を超えたら0に戻って数えます。点7はどの点と結ばれるでしょうか？
スタート 点が10個で2倍のとき、0から9までの各点がどこへ行くかを書き出しましょう。
10本の線を描きましょう。線が2本やってくるのはどの点ですか？
基本 点が200個で2倍のとき、点150と点199はどこへ行きますか？
点が200個のとき、2倍で自分自身へ行くのはどの点ですか？3倍では？
2倍、3倍、4倍では、尖点はそれぞれいくつですか？
チャレンジ 点が200個のとき、101倍ではどの偶数の点も自分自身へ、どの奇数の点も真向かいへ送られることを示しましょう。
点が200個のとき、201倍では何が描かれますか？それはなぜですか？
スタート 点が10個で2倍のとき、0から9までの各点がどこへ行くかを書き出しましょう。
0→0、1→2、2→4、3→6、4→8、5→0、6→2、7→4、8→6、9→8。
10本の線を描きましょう。線が2本やってくるのはどの点ですか？
2、4、6、8には2本ずつ来ます。たとえば1と6はどちらも2へ行きます。0は自分自身へ行くので、点0には5からの1本だけが来ます。
基本 点が200個で2倍のとき、点150と点199はどこへ行きますか？
300 − 200 = 100、そして 398 − 200 = 198。
点が200個のとき、2倍で自分自身へ行くのはどの点ですか？3倍では？
2倍では点0だけです。2n = n には n = 0 が必要だからです。3倍では点0と点100です。2nが0か200でなければならないからです。
2倍、3倍、4倍では、尖点はそれぞれいくつですか？
1、2、3。カージオイド、ネフロイド、尖点が3つの曲線で、いつも k − 1 個です。
チャレンジ 点が200個のとき、101倍ではどの偶数の点も自分自身へ、どの奇数の点も真向かいへ送られることを示しましょう。
101n = 100n + n。nが偶数なら100nは200の倍数なので、点はnのままです。nが奇数なら100nは余り100を残すので、点は n + 100、つまり半周先になります。
点が200個のとき、201倍では何が描かれますか？それはなぜですか？
何も描かれません。201n = 200n + n なので、どの点も自分自身へ行き、どの線も長さがゼロになるからです。
授業カード · 幾何と確率 · 14–18歳 · 45分 カオスゲーム：偶然から生まれるフラクタル ねらい 座標を使って中点を求める シェルピンスキーの三角形とその自己相似性を説明する でたらめなルールでも、なぜ正確な形が生まれうるのかを理解する 動画の前に：予想する 三角形の頂点のひとつをでたらめに選び、そこへ向かって半分だけ跳び、その場所に印をつけて、これを何千回も繰り返します。でたらめな点の雲になるでしょうか、それとも別のものになるでしょうか？
動画 The Chaos Game: Pure Randomness Draws a Perfect Fractal · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/the-chaos-game-pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
授業の流れ（分ごと） 5 min 予想。それから全員が、印刷した三角形の上で、さいころを使って手で5回跳んでみます。 3 min 動画「Pure Randomness Draws a Perfect Fractal」を見ます（タイトルは英語、語りはありません）。 20 min 3つのレベルのワークシート。 10 min 話し合う：下の問い。 7 min ライブデモ：制限ありとなしの正方形、そして0.618の五角形。
ワークシート スタート 頂点は A (0, 0)、B (8, 0)、C (4, 8) です。(4, 4) から出発し、Aへ、次にCへ、次にBへ、次にCへと半分ずつ跳びます。それぞれの点を書きましょう。
答え： (2, 2)、(3, 5)、(5.5, 2.5)、(4.75, 5.25)。
2点のちょうど中間の点は、どうやって求めますか？
答え： x の値の平均と、y の値の平均をとります。
基本 シェルピンスキーの三角形は、段階ごとに、どの三角形からも真ん中の4分の1を取り除きます。1段階、2段階、5段階のあとに残る面積の割合はどれだけですか？
答え： 3/4 = 75 %、9/16 ≈ 56.3 %、(3/4)⁵ ≈ 23.7 %。
5段階のあと、小さな三角形はいくつありますか？
答え： 3⁵ = 243。
1回跳ぶごとに、フラクタルまでの距離は半分になります。10回跳んだあと、最初の距離のどれだけが残っていますか？
答え： (1/2)¹⁰ = 1/1,024、約1,000分の1です。
チャレンジ シェルピンスキーの三角形は、半分の大きさの自分自身3つでできています。その次元dは 2ᵈ = 3 を満たします。dを求めましょう。
答え： d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585。線（1）より大きく、塗りつぶした三角形（2）より小さい値です。
正方形で、半分ずつ跳ぶゲームをしてみましょう。点がただ正方形を埋めるだけなのはなぜですか？
答え： 半分の大きさの正方形4つは、すき間なくちょうど正方形を埋めるので、ルールで変わらない形は正方形全体になるからです。
話し合う でたらめな選択から、毎回まったく同じ形が生まれるのはどうしてでしょうか？ 同じ頂点を2回続けて選ばないようにすると、何が変わるでしょうか？ 自然の中で、自分自身の小さなコピーでできた形をどこで見かけますか？ 授業で自由に使えます。役に立ったら、ほかの先生にも教えてあげてください。チャンネルを応援 →
動画の前に：予想する 三角形の頂点のひとつをでたらめに選び、そこへ向かって半分だけ跳び、その場所に印をつけて、これを何千回も繰り返します。でたらめな点の雲になるでしょうか、それとも別のものになるでしょうか？
スタート 頂点は A (0, 0)、B (8, 0)、C (4, 8) です。(4, 4) から出発し、Aへ、次にCへ、次にBへ、次にCへと半分ずつ跳びます。それぞれの点を書きましょう。
2点のちょうど中間の点は、どうやって求めますか？
基本 シェルピンスキーの三角形は、段階ごとに、どの三角形からも真ん中の4分の1を取り除きます。1段階、2段階、5段階のあとに残る面積の割合はどれだけですか？
5段階のあと、小さな三角形はいくつありますか？
1回跳ぶごとに、フラクタルまでの距離は半分になります。10回跳んだあと、最初の距離のどれだけが残っていますか？
チャレンジ シェルピンスキーの三角形は、半分の大きさの自分自身3つでできています。その次元dは 2ᵈ = 3 を満たします。dを求めましょう。
正方形で、半分ずつ跳ぶゲームをしてみましょう。点がただ正方形を埋めるだけなのはなぜですか？
解答 · 先生用 カオスゲーム：偶然から生まれるフラクタル スタート 頂点は A (0, 0)、B (8, 0)、C (4, 8) です。(4, 4) から出発し、Aへ、次にCへ、次にBへ、次にCへと半分ずつ跳びます。それぞれの点を書きましょう。
(2, 2)、(3, 5)、(5.5, 2.5)、(4.75, 5.25)。
2点のちょうど中間の点は、どうやって求めますか？
x の値の平均と、y の値の平均をとります。
基本 シェルピンスキーの三角形は、段階ごとに、どの三角形からも真ん中の4分の1を取り除きます。1段階、2段階、5段階のあとに残る面積の割合はどれだけですか？
3/4 = 75 %、9/16 ≈ 56.3 %、(3/4)⁵ ≈ 23.7 %。
5段階のあと、小さな三角形はいくつありますか？
3⁵ = 243。
1回跳ぶごとに、フラクタルまでの距離は半分になります。10回跳んだあと、最初の距離のどれだけが残っていますか？
(1/2)¹⁰ = 1/1,024、約1,000分の1です。
チャレンジ シェルピンスキーの三角形は、半分の大きさの自分自身3つでできています。その次元dは 2ᵈ = 3 を満たします。dを求めましょう。
d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585。線（1）より大きく、塗りつぶした三角形（2）より小さい値です。
正方形で、半分ずつ跳ぶゲームをしてみましょう。点がただ正方形を埋めるだけなのはなぜですか？
半分の大きさの正方形4つは、すき間なくちょうど正方形を埋めるので、ルールで変わらない形は正方形全体になるからです。