선생님을 위해 · 무료로 인쇄해 수업에 사용 선생님용 묶음: 모든 수업을 파일 하나로 수업 4개, 자료 12장: 수업 지도안마다 활동지와 정답이 함께 있어요. 모두 인쇄하거나, 인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 골라 파일 하나로 받으세요.
수업 지도안 · 확률 · 15–18세 · 45분 골턴 보드: 무작위 튕김에서 나오는 질서 학습 목표 파스칼 삼각형과 이항계수로 길의 수 세기 길의 수를 확률로 바꾸기 무작위 사건이 많이 모이면 왜 예측할 수 있는 모양이 나오는지 알기 영상 보기 전: 예측하기 공 1,000개가 못이 박힌 10줄을 지나 떨어져요. 못마다 공은 같은 확률로 왼쪽이나 오른쪽으로 가요. 공이 어디에 쌓일지 생각한 대로 스케치해 보세요.
영상 Galton Board: 1,140 Random Balls Draw a Perfect Bell Curve · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/galton-board-1-140-random-balls-draw-a-perfect-bell-curve
분 단위 수업 흐름 5 min 예측하기: 학생마다 공이 쌓인 모양을 스케치하고, 서로 다른 스케치 두세 개를 칠판에 모아요. 3 min 영상을 보고 스케치와 비교해요. 20 min 짝을 지어 활동지 풀기, 짝마다 자기 단계로: 기초, 기본, 도전. 10 min 토론: 아래 질문. 7 min 칠판에서 라이브 데모: 보드를 60 %로 기울이고 줄을 늘리며 예측을 확인해요.
활동지 기초 보드에 줄이 3개 있어요. 공이 갈 수 있는 왼쪽/오른쪽 길을 모두 그려 보세요. 몇 개인가요?
정답: 2 × 2 × 2 = 8개의 길.
8개의 길 중 몇 개가 4개의 칸 각각에서 끝날까요?
정답: 1, 3, 3, 1: 양쪽 가장자리 칸에는 길이 하나씩, 가운데 두 칸에는 셋씩.
공이 가운데 두 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?
정답: 6 ÷ 8 = 75 %.
기본 줄이 10개면 공 하나가 갈 수 있는 서로 다른 길은 몇 개일까요?
정답: 2¹⁰ = 1,024.
그중 몇 개가 가운데 칸(정확히 오른쪽으로 5번 튐)에서 끝날까요?
정답: C(10, 5) = 252.
가운데 칸에 들어갈 확률은 얼마일까요?
정답: 252 ÷ 1,024 ≈ 24.6 %.
양쪽 맨 끝 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?
정답: 2 ÷ 1,024 ≈ 0.2 %.
공 1,000개 중 대략 몇 개가 4번, 5번, 6번 칸에 들어갈까요?
정답: (210 + 252 + 210) ÷ 1,024 ≈ 65.6 %, 그러니 약 656개.
도전 이제 못마다 공의 60 %를 오른쪽으로 보내요. 10줄 보드에서 가장 가능성이 큰 칸은 어디이고, 그 확률은 얼마일까요?
정답: 6번 칸: C(10, 6) · 0.6⁶ · 0.4⁴ ≈ 25.1 %. 종의 중심이 10 × 0.6 = 6으로 옮겨 가요.
줄의 수 n이 짝수이면 가운데 칸에는 공의 C(n, n/2) ÷ 2ⁿ이 들어가요. 줄이 몇 개부터 이 값이 10 %보다 작아질까요?
정답: 64줄부터: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9.9 %. 종이 넓게 퍼져서 가운데 칸이 받는 몫이 작아져요.
토론 공 하나로는 거의 아무것도 알 수 없어요. 그런데 공 1,000개는 왜 거의 모든 것을 알려 줄까요? 종 모양 곡선은 또 어디에서 만날 수 있을까요? (키, 측정 오차, 시험 점수) 못마다 공의 60 %를 오른쪽으로 보낸다면 무엇이 달라질까요? 수업에서 자유롭게 쓰세요. 도움이 되었다면 다른 선생님께도 알려 주세요. 채널 응원하기 →
영상 보기 전: 예측하기 공 1,000개가 못이 박힌 10줄을 지나 떨어져요. 못마다 공은 같은 확률로 왼쪽이나 오른쪽으로 가요. 공이 어디에 쌓일지 생각한 대로 스케치해 보세요.
기초 보드에 줄이 3개 있어요. 공이 갈 수 있는 왼쪽/오른쪽 길을 모두 그려 보세요. 몇 개인가요?
8개의 길 중 몇 개가 4개의 칸 각각에서 끝날까요?
공이 가운데 두 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?
기본 줄이 10개면 공 하나가 갈 수 있는 서로 다른 길은 몇 개일까요?
그중 몇 개가 가운데 칸(정확히 오른쪽으로 5번 튐)에서 끝날까요?
가운데 칸에 들어갈 확률은 얼마일까요?
양쪽 맨 끝 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?
공 1,000개 중 대략 몇 개가 4번, 5번, 6번 칸에 들어갈까요?
도전 이제 못마다 공의 60 %를 오른쪽으로 보내요. 10줄 보드에서 가장 가능성이 큰 칸은 어디이고, 그 확률은 얼마일까요?
줄의 수 n이 짝수이면 가운데 칸에는 공의 C(n, n/2) ÷ 2ⁿ이 들어가요. 줄이 몇 개부터 이 값이 10 %보다 작아질까요?
정답 · 선생님용 골턴 보드: 무작위 튕김에서 나오는 질서 기초 보드에 줄이 3개 있어요. 공이 갈 수 있는 왼쪽/오른쪽 길을 모두 그려 보세요. 몇 개인가요?
2 × 2 × 2 = 8개의 길.
8개의 길 중 몇 개가 4개의 칸 각각에서 끝날까요?
1, 3, 3, 1: 양쪽 가장자리 칸에는 길이 하나씩, 가운데 두 칸에는 셋씩.
공이 가운데 두 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?
6 ÷ 8 = 75 %.
기본 줄이 10개면 공 하나가 갈 수 있는 서로 다른 길은 몇 개일까요?
2¹⁰ = 1,024.
그중 몇 개가 가운데 칸(정확히 오른쪽으로 5번 튐)에서 끝날까요?
C(10, 5) = 252.
가운데 칸에 들어갈 확률은 얼마일까요?
252 ÷ 1,024 ≈ 24.6 %.
양쪽 맨 끝 칸 중 하나에 들어갈 확률은 얼마일까요?
2 ÷ 1,024 ≈ 0.2 %.
공 1,000개 중 대략 몇 개가 4번, 5번, 6번 칸에 들어갈까요?
(210 + 252 + 210) ÷ 1,024 ≈ 65.6 %, 그러니 약 656개.
도전 이제 못마다 공의 60 %를 오른쪽으로 보내요. 10줄 보드에서 가장 가능성이 큰 칸은 어디이고, 그 확률은 얼마일까요?
6번 칸: C(10, 6) · 0.6⁶ · 0.4⁴ ≈ 25.1 %. 종의 중심이 10 × 0.6 = 6으로 옮겨 가요.
줄의 수 n이 짝수이면 가운데 칸에는 공의 C(n, n/2) ÷ 2ⁿ이 들어가요. 줄이 몇 개부터 이 값이 10 %보다 작아질까요?
64줄부터: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9.9 %. 종이 넓게 퍼져서 가운데 칸이 받는 몫이 작아져요.
수업 지도안 · 수와 기하 · 15–18세 · 45분 해바라기 속의 피보나치 학습 목표 한 바퀴의 분수만큼 돌리면 왜 바큇살이 생기는지 알기 황금비를 피보나치 수의 비의 극한으로 만나기 황금각이 꽃을 고르게 채우는 이유 설명하기 영상 보기 전: 예측하기 씨앗을 하나씩 놓는데, 각 씨앗을 앞 씨앗에서 같은 각도만큼 돌려요. 반 바퀴(180°)씩 돌리면 어떤 모양이 될까요? 3분의 1바퀴(120°)씩이라면요?
영상 Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals
분 단위 수업 흐름 5 min 예측하기: 180°와 120°를 스케치하고, ‘가장 좋은’ 각도가 무엇일지 추측해 보게 해요. 3 min Short “Why do sunflowers turn every seed 137.5°?”를 봐요(영어로 되어 있지만, 그림이 스스로 말해 줘요). 20 min 세 단계 활동지. 10 min 토론: 아래 질문. 7 min 라이브 데모: 칠판에서 137.5°, 그다음 144°와 135°. 바큇살을 함께 세어요.
활동지 기초 180°는 한 바퀴의 몇 분의 몇일까요? 120°는? 144°는? 135°는?
정답: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
이 각도들은 각각 곧은 바큇살을 몇 개 만들까요?
정답: 2, 3, 5, 8개: 분수의 분모예요.
한 바퀴의 분수만큼 돌리면 왜 언제나 바큇살이 생길까요?
정답: 분모만큼의 씨앗을 놓고 나면 돌린 양을 모두 합친 것이 정수 바퀴가 되어, 다음 씨앗이 다시 첫 번째 바큇살 위에 놓여요.
기본 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34를 소수 셋째 자리까지 계산해 보세요. 무엇을 알 수 있나요?
정답: 1.600, 1.625, 1.615, 1.619, 1.618: 비가 양쪽에서 번갈아 황금비 φ ≈ 1.618에 다가가요.
φ = 1.618034로 360° ÷ φ²를 계산해 보세요.
정답: 360 ÷ 2.618034 ≈ 137.5°.
황금각은 한 바퀴의 0.381966이에요. 13, 21, 34를 곱해 보세요. 각각 정수에서 얼마나 떨어져 있나요?
정답: 4.9656, 8.0213, 12.9868: 0.034, 0.021, 0.013바퀴 떨어져 있어요. 21개나 34개 떨어진 씨앗들이 거의 한 줄로 서서 나선을 만들어요.
도전 φ² = φ + 1을 써서 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ²임을 보이세요.
정답: φ² = φ + 1을 φ로 나누면 φ = 1 + 1/φ, 그러니 φ − 1 = 1/φ. 따라서 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
해바라기에는 왜 나선이 20개와 30개가 아니라 21개와 34개 보일까요?
정답: 나선은 거의 한 줄로 서는 씨앗들 사이에 생기는데, 황금각에서는 그런 씨앗들이 피보나치 수만큼 떨어져 있어요: 13, 21, 34, 55…
토론 씨앗 사이에 빈틈을 남기지 않으면 식물에게 어떤 이득이 있을까요? 한 바퀴의 어떤 분수도 황금각만큼 잘할 수 없는 이유는 무엇일까요? 피보나치 수를 또 어디에서 만나 봤나요? 수업에서 자유롭게 쓰세요. 도움이 되었다면 다른 선생님께도 알려 주세요. 채널 응원하기 →
활동지 · 수와 기하
해바라기 속의 피보나치 이름:
영상 보기 전: 예측하기 씨앗을 하나씩 놓는데, 각 씨앗을 앞 씨앗에서 같은 각도만큼 돌려요. 반 바퀴(180°)씩 돌리면 어떤 모양이 될까요? 3분의 1바퀴(120°)씩이라면요?
기초 180°는 한 바퀴의 몇 분의 몇일까요? 120°는? 144°는? 135°는?
이 각도들은 각각 곧은 바큇살을 몇 개 만들까요?
한 바퀴의 분수만큼 돌리면 왜 언제나 바큇살이 생길까요?
기본 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34를 소수 셋째 자리까지 계산해 보세요. 무엇을 알 수 있나요?
φ = 1.618034로 360° ÷ φ²를 계산해 보세요.
황금각은 한 바퀴의 0.381966이에요. 13, 21, 34를 곱해 보세요. 각각 정수에서 얼마나 떨어져 있나요?
도전 φ² = φ + 1을 써서 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ²임을 보이세요.
해바라기에는 왜 나선이 20개와 30개가 아니라 21개와 34개 보일까요?
기초 180°는 한 바퀴의 몇 분의 몇일까요? 120°는? 144°는? 135°는?
1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
이 각도들은 각각 곧은 바큇살을 몇 개 만들까요?
2, 3, 5, 8개: 분수의 분모예요.
한 바퀴의 분수만큼 돌리면 왜 언제나 바큇살이 생길까요?
분모만큼의 씨앗을 놓고 나면 돌린 양을 모두 합친 것이 정수 바퀴가 되어, 다음 씨앗이 다시 첫 번째 바큇살 위에 놓여요.
기본 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34를 소수 셋째 자리까지 계산해 보세요. 무엇을 알 수 있나요?
1.600, 1.625, 1.615, 1.619, 1.618: 비가 양쪽에서 번갈아 황금비 φ ≈ 1.618에 다가가요.
φ = 1.618034로 360° ÷ φ²를 계산해 보세요.
360 ÷ 2.618034 ≈ 137.5°.
황금각은 한 바퀴의 0.381966이에요. 13, 21, 34를 곱해 보세요. 각각 정수에서 얼마나 떨어져 있나요?
4.9656, 8.0213, 12.9868: 0.034, 0.021, 0.013바퀴 떨어져 있어요. 21개나 34개 떨어진 씨앗들이 거의 한 줄로 서서 나선을 만들어요.
도전 φ² = φ + 1을 써서 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ²임을 보이세요.
φ² = φ + 1을 φ로 나누면 φ = 1 + 1/φ, 그러니 φ − 1 = 1/φ. 따라서 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
해바라기에는 왜 나선이 20개와 30개가 아니라 21개와 34개 보일까요?
나선은 거의 한 줄로 서는 씨앗들 사이에 생기는데, 황금각에서는 그런 씨앗들이 피보나치 수만큼 떨어져 있어요: 13, 21, 34, 55…
수업 지도안 · 모듈러 산술 · 13–18세 · 45분 원 위의 곱셈표 학습 목표 나머지로 계산하기(모듈러 산술) 직선들의 포락선으로 카디오이드 그리기 곱하는 수와 첨점의 개수를 연결하기 영상 보기 전: 예측하기 원 위의 점 10개에 0부터 9까지 번호를 붙여요. 각 점 n을 점 2n과 잇는데, 9를 넘으면 다시 0부터 세요. 7은 어느 점과 이어질까요?
영상 Times Table on a Circle: One Rule Draws a Heart (Cardioid) · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/times-table-on-a-circle-one-rule-draws-a-heart-cardioid
분 단위 수업 흐름 5 min 칠판에 점 10개를 찍고 예측하기: 14 − 10 = 4이므로 7이 4와 이어진다는 데 의견을 모아요. 3 min 영상 “One Multiplication Rule Draws Every Shape”를 봐요(제목은 영어, 말은 없어요). 20 min 활동지. 기초 단계 학생들은 점 10개짜리 원을 손으로 그려요. 10 min 토론: 아래 질문. 7 min 라이브 데모: 점 200개로 2배, 3배, 4배, 그다음 101배.
활동지 기초 점 10개에서 2배일 때, 0부터 9까지 각 점이 어디로 가는지 적어 보세요.
정답: 0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.
선 10개를 그려 보세요. 선이 두 개씩 들어오는 점은 어느 것일까요?
정답: 2, 4, 6, 8에 선이 두 개씩 들어와요. 예를 들어 1과 6이 모두 2로 가요. 0은 자기 자신으로 가므로, 점 0에는 5에서 오는 선 하나만 들어와요.
기본 점 200개에서 2배일 때, 점 150과 199는 어디로 갈까요?
정답: 300 − 200 = 100, 그리고 398 − 200 = 198.
점 200개에서 2배일 때 자기 자신으로 가는 점은 어느 것일까요? 3배일 때는요?
정답: 2배: 점 0뿐이에요. 2n = n이려면 n = 0이어야 하니까요. 3배: 점 0과 100이에요. 2n이 0이나 200이어야 하니까요.
2배, 3배, 4배는 첨점을 몇 개 만들까요?
정답: 1, 2, 3개: 카디오이드, 네프로이드, 첨점이 셋인 곡선. 언제나 k − 1개예요.
도전 점 200개에서 101배는 모든 짝수 점을 자기 자신으로, 모든 홀수 점을 정반대편으로 보낸다는 것을 보이세요.
정답: 101n = 100n + n. n이 짝수이면 100n은 200의 배수이므로 점은 n에 머물러요. n이 홀수이면 100n을 200으로 나눈 나머지가 100이므로 점은 n + 100, 곧 반 바퀴 돈 자리로 가요.
점 200개에서 201배는 무엇을 그리고, 그 이유는 무엇일까요?
정답: 아무것도 그리지 않아요. 201n = 200n + n이라서 모든 점이 자기 자신으로 가고, 모든 선의 길이가 0이에요.
토론 직선들이 왜 곡선처럼 보일까요? 200으로 나눈 나머지만 중요한 이유는 무엇일까요? 202배는 무엇을 그릴까요? 수업에서 자유롭게 쓰세요. 도움이 되었다면 다른 선생님께도 알려 주세요. 채널 응원하기 →
활동지 · 모듈러 산술
원 위의 곱셈표 이름:
영상 보기 전: 예측하기 원 위의 점 10개에 0부터 9까지 번호를 붙여요. 각 점 n을 점 2n과 잇는데, 9를 넘으면 다시 0부터 세요. 7은 어느 점과 이어질까요?
기초 점 10개에서 2배일 때, 0부터 9까지 각 점이 어디로 가는지 적어 보세요.
선 10개를 그려 보세요. 선이 두 개씩 들어오는 점은 어느 것일까요?
기본 점 200개에서 2배일 때, 점 150과 199는 어디로 갈까요?
점 200개에서 2배일 때 자기 자신으로 가는 점은 어느 것일까요? 3배일 때는요?
2배, 3배, 4배는 첨점을 몇 개 만들까요?
도전 점 200개에서 101배는 모든 짝수 점을 자기 자신으로, 모든 홀수 점을 정반대편으로 보낸다는 것을 보이세요.
점 200개에서 201배는 무엇을 그리고, 그 이유는 무엇일까요?
기초 점 10개에서 2배일 때, 0부터 9까지 각 점이 어디로 가는지 적어 보세요.
0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.
선 10개를 그려 보세요. 선이 두 개씩 들어오는 점은 어느 것일까요?
2, 4, 6, 8에 선이 두 개씩 들어와요. 예를 들어 1과 6이 모두 2로 가요. 0은 자기 자신으로 가므로, 점 0에는 5에서 오는 선 하나만 들어와요.
기본 점 200개에서 2배일 때, 점 150과 199는 어디로 갈까요?
300 − 200 = 100, 그리고 398 − 200 = 198.
점 200개에서 2배일 때 자기 자신으로 가는 점은 어느 것일까요? 3배일 때는요?
2배: 점 0뿐이에요. 2n = n이려면 n = 0이어야 하니까요. 3배: 점 0과 100이에요. 2n이 0이나 200이어야 하니까요.
2배, 3배, 4배는 첨점을 몇 개 만들까요?
1, 2, 3개: 카디오이드, 네프로이드, 첨점이 셋인 곡선. 언제나 k − 1개예요.
도전 점 200개에서 101배는 모든 짝수 점을 자기 자신으로, 모든 홀수 점을 정반대편으로 보낸다는 것을 보이세요.
101n = 100n + n. n이 짝수이면 100n은 200의 배수이므로 점은 n에 머물러요. n이 홀수이면 100n을 200으로 나눈 나머지가 100이므로 점은 n + 100, 곧 반 바퀴 돈 자리로 가요.
점 200개에서 201배는 무엇을 그리고, 그 이유는 무엇일까요?
아무것도 그리지 않아요. 201n = 200n + n이라서 모든 점이 자기 자신으로 가고, 모든 선의 길이가 0이에요.
수업 지도안 · 기하와 확률 · 14–18세 · 45분 카오스 게임: 우연에서 나오는 프랙털 학습 목표 좌표로 중점 구하기 시에르핀스키 삼각형과 그 자기 유사성 설명하기 무작위 규칙이 어떻게 정확한 모양을 만들 수 있는지 알기 영상 보기 전: 예측하기 삼각형의 꼭짓점 중 하나를 무작위로 골라 그쪽으로 절반만큼 점프하고, 그 자리를 표시하는 일을 수천 번 되풀이해요. 무작위한 점 구름이 나올까요, 아니면 다른 무언가가 나올까요?
영상 The Chaos Game: Pure Randomness Draws a Perfect Fractal · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/the-chaos-game-pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
분 단위 수업 흐름 5 min 예측하기. 그다음 모두가 인쇄한 삼각형 위에서 주사위로 점프 다섯 번을 손으로 해 봐요. 3 min 영상 “Pure Randomness Draws a Perfect Fractal”을 봐요(제목은 영어, 말은 없어요). 20 min 세 단계 활동지. 10 min 토론: 아래 질문. 7 min 라이브 데모: 제한이 있을 때와 없을 때의 사각형, 그다음 0.618의 오각형.
활동지 기초 꼭짓점은 A (0, 0), B (8, 0), C (4, 8)이에요. (4, 4)에서 출발해 A, 그다음 C, 그다음 B, 그다음 C를 향해 절반씩 점프하세요. 각 점을 적어 보세요.
정답: (2, 2), (3, 5), (5.5, 2.5), (4.75, 5.25).
두 점의 한가운데 점은 어떻게 구할까요?
정답: x 값들의 평균과 y 값들의 평균을 구해요.
기본 시에르핀스키 삼각형의 각 단계는 모든 삼각형에서 가운데 4분의 1을 없애요. 1단계, 2단계, 5단계 뒤에 넓이의 몇 %가 남을까요?
정답: 3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56.3 %, (3/4)⁵ ≈ 23.7 %.
5단계 뒤에는 작은 삼각형이 몇 개 있을까요?
정답: 3⁵ = 243.
점프할 때마다 프랙털까지의 거리가 절반이 돼요. 10번 점프한 뒤에는 처음 거리의 얼마가 남을까요?
정답: (1/2)¹⁰ = 1/1,024, 약 1,000분의 1.
도전 시에르핀스키 삼각형은 절반 크기의 자기 복사본 3개로 이루어져 있어요. 그 차원 d는 2ᵈ = 3을 만족해요. d를 구하세요.
정답: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585: 선(1)보다 크고, 꽉 찬 삼각형(2)보다 작아요.
사각형에서 절반 점프로 게임을 해 보세요. 점이 왜 사각형을 그냥 채울까요?
정답: 절반 크기의 사각형 복사본 네 개가 빈틈없이 사각형을 정확히 채우므로, 규칙이 바꾸지 않는 모양은 사각형 전체예요.
토론 무작위 선택이 어떻게 매번 똑같은 모양을 만들 수 있을까요? 같은 꼭짓점을 두 번 연속 고르지 않으면 무엇이 달라질까요? 자연에서 자기 자신의 더 작은 복사본으로 이루어진 모양을 어디에서 볼 수 있을까요? 수업에서 자유롭게 쓰세요. 도움이 되었다면 다른 선생님께도 알려 주세요. 채널 응원하기 →
영상 보기 전: 예측하기 삼각형의 꼭짓점 중 하나를 무작위로 골라 그쪽으로 절반만큼 점프하고, 그 자리를 표시하는 일을 수천 번 되풀이해요. 무작위한 점 구름이 나올까요, 아니면 다른 무언가가 나올까요?
기초 꼭짓점은 A (0, 0), B (8, 0), C (4, 8)이에요. (4, 4)에서 출발해 A, 그다음 C, 그다음 B, 그다음 C를 향해 절반씩 점프하세요. 각 점을 적어 보세요.
두 점의 한가운데 점은 어떻게 구할까요?
기본 시에르핀스키 삼각형의 각 단계는 모든 삼각형에서 가운데 4분의 1을 없애요. 1단계, 2단계, 5단계 뒤에 넓이의 몇 %가 남을까요?
5단계 뒤에는 작은 삼각형이 몇 개 있을까요?
점프할 때마다 프랙털까지의 거리가 절반이 돼요. 10번 점프한 뒤에는 처음 거리의 얼마가 남을까요?
도전 시에르핀스키 삼각형은 절반 크기의 자기 복사본 3개로 이루어져 있어요. 그 차원 d는 2ᵈ = 3을 만족해요. d를 구하세요.
사각형에서 절반 점프로 게임을 해 보세요. 점이 왜 사각형을 그냥 채울까요?
정답 · 선생님용 카오스 게임: 우연에서 나오는 프랙털 기초 꼭짓점은 A (0, 0), B (8, 0), C (4, 8)이에요. (4, 4)에서 출발해 A, 그다음 C, 그다음 B, 그다음 C를 향해 절반씩 점프하세요. 각 점을 적어 보세요.
(2, 2), (3, 5), (5.5, 2.5), (4.75, 5.25).
두 점의 한가운데 점은 어떻게 구할까요?
x 값들의 평균과 y 값들의 평균을 구해요.
기본 시에르핀스키 삼각형의 각 단계는 모든 삼각형에서 가운데 4분의 1을 없애요. 1단계, 2단계, 5단계 뒤에 넓이의 몇 %가 남을까요?
3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56.3 %, (3/4)⁵ ≈ 23.7 %.
5단계 뒤에는 작은 삼각형이 몇 개 있을까요?
3⁵ = 243.
점프할 때마다 프랙털까지의 거리가 절반이 돼요. 10번 점프한 뒤에는 처음 거리의 얼마가 남을까요?
(1/2)¹⁰ = 1/1,024, 약 1,000분의 1.
도전 시에르핀스키 삼각형은 절반 크기의 자기 복사본 3개로 이루어져 있어요. 그 차원 d는 2ᵈ = 3을 만족해요. d를 구하세요.
d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585: 선(1)보다 크고, 꽉 찬 삼각형(2)보다 작아요.
사각형에서 절반 점프로 게임을 해 보세요. 점이 왜 사각형을 그냥 채울까요?
절반 크기의 사각형 복사본 네 개가 빈틈없이 사각형을 정확히 채우므로, 규칙이 바꾸지 않는 모양은 사각형 전체예요.