Hypnotic Patterns
EN
Dla nauczycieli · do wolnego druku i użytku w klasie

Pakiet dla nauczycieli: wszystkie lekcje w jednym pliku

4 lekcje, 12 kartek: każdy scenariusz z kartą pracy i odpowiedziami. Wydrukuj wszystko albo w oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, żeby dostać jeden plik.

Wszystkie lekcje
Scenariusz lekcji · Rachunek prawdopodobieństwa · 15⁠–⁠18 lat · 45 min

Deska Galtona: porządek z przypadkowych odbić

Cele: uczeń potrafi

  • liczyć drogi trójkątem Pascala i współczynnikami dwumianowymi;
  • zamieniać liczby dróg na prawdopodobieństwa;
  • zobaczyć, dlaczego wiele zdarzeń losowych daje przewidywalny kształt;

Przed filmem: przewidź

1000 kulek spada przez 10 rzędów kołków. Na każdym kołku kulka idzie w lewo albo w prawo z jednakową szansą. Naszkicuj, gdzie twoim zdaniem się zbiorą.

Film

Random Balls Build a Perfect Bell Curve — Hypnotic Galton Board · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/random-balls-build-a-perfect-bell-curve

Lekcja minuta po minucie

5 minPrzewidywanie: każdy szkicuje stos kulek; zbierzcie na tablicy dwa, trzy różne szkice.
3 minObejrzyjcie film; porównajcie go ze szkicami.
20 minKarta pracy w parach, każda para na swoim poziomie: Start, Główny albo Wyzwanie.
10 minRozmowa: pytania niżej.
7 minDemo na żywo na tablicy: przechylcie deskę do 60 % i dodajcie rzędy; sprawdźcie przewidywania.

Karta pracy

Start

  1. Deska ma 3 rzędy. Narysuj każdą drogę lewo/prawo, którą może przejść kulka. Ile ich jest?

    Odpowiedź: 2 × 2 × 2 = 8 dróg.

  2. Ile z 8 dróg kończy się w każdej z 4 przegródek?

    Odpowiedź: 1, 3, 3, 1: jedna droga do każdego brzegu, trzy do każdej środkowej przegródki.

  3. Jaka jest szansa, że kulka wpadnie do jednej z dwóch środkowych przegródek?

    Odpowiedź: 6 ÷ 8 = 75 %.

Główny

  1. Ile różnych dróg może przejść jedna kulka przy 10 rzędach?

    Odpowiedź: 2¹⁰ = 1024.

  2. Ile z nich kończy się w środkowej przegródce (dokładnie 5 odbić w prawo)?

    Odpowiedź: C(10, 5) = 252.

  3. Jaka jest szansa środkowej przegródki?

    Odpowiedź: 252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.

  4. Jaka jest szansa jednej z dwóch skrajnych przegródek?

    Odpowiedź: 2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.

  5. Ile mniej więcej z 1000 kulek wpadnie do przegródek 4, 5 albo 6?

    Odpowiedź: (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, więc około 656 kulek.

Wyzwanie

  1. Teraz każdy kołek posyła 60 % kulek w prawo. Która z 10 przegródek jest najbardziej prawdopodobna i z jaką szansą?

    Odpowiedź: Przegródka 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Środek dzwonu przesuwa się do 10 × 0,6 = 6.

  2. Przy parzystej liczbie rzędów n środkowa przegródka dostaje C(n, n/2) ÷ 2ⁿ kulek. Od ilu rzędów to mniej niż 10 %?

    Odpowiedź: Od 64 rzędów: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. Dzwon się rozszerza, więc środkowa przegródka dostaje mniejszą część.

Do rozmowy

  • Jedna kulka nie mówi prawie nic. Dlaczego 1000 kulek mówi prawie wszystko?
  • Gdzie jeszcze spotykasz krzywą dzwonową? (wzrost, błędy pomiaru, wyniki testów)
  • Co by się zmieniło, gdyby każdy kołek posyłał 60 % kulek w prawo?

Podstawa programowa

Punkty podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum i technikum, które ćwiczy ta lekcja, w brzmieniu z zpe.gov.pl (sprawdzone 5 listopada 2026).

  • Matematyka, XI. Kombinatoryka, zakres podstawowy, pkt 2: „zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności […]”
  • Matematyka, XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, zakres podstawowy, pkt 1: „oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;”
  • Matematyka, XI. Kombinatoryka, zakres rozszerzony, pkt 2: „stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.”
  • Matematyka, II. Wyrażenia algebraiczne, zakres rozszerzony, pkt 4: „stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona) […]”
  • Matematyka, XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, zakres rozszerzony, pkt 2 (Wyzwanie): „stosuje schemat Bernoullego.”
  • Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 2: „Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.”

Do wolnego użytku na lekcji. Jeśli się przydało, powiedz o tym innym nauczycielom albo Wesprzyj kanał →

Do wolnego druku i użytku w klasie · Hypnotic Patterns · hypnoticpatterns.doner.cloud/pl/classroom/galton-board
Karta pracy · Rachunek prawdopodobieństwa

Deska Galtona: porządek z przypadkowych odbić

Imię i nazwisko: Data:

Przed filmem: przewidź

1000 kulek spada przez 10 rzędów kołków. Na każdym kołku kulka idzie w lewo albo w prawo z jednakową szansą. Naszkicuj, gdzie twoim zdaniem się zbiorą.

Start

  1. Deska ma 3 rzędy. Narysuj każdą drogę lewo/prawo, którą może przejść kulka. Ile ich jest?

  2. Ile z 8 dróg kończy się w każdej z 4 przegródek?

  3. Jaka jest szansa, że kulka wpadnie do jednej z dwóch środkowych przegródek?

Główny

  1. Ile różnych dróg może przejść jedna kulka przy 10 rzędach?

  2. Ile z nich kończy się w środkowej przegródce (dokładnie 5 odbić w prawo)?

  3. Jaka jest szansa środkowej przegródki?

  4. Jaka jest szansa jednej z dwóch skrajnych przegródek?

  5. Ile mniej więcej z 1000 kulek wpadnie do przegródek 4, 5 albo 6?

Wyzwanie

  1. Teraz każdy kołek posyła 60 % kulek w prawo. Która z 10 przegródek jest najbardziej prawdopodobna i z jaką szansą?

  2. Przy parzystej liczbie rzędów n środkowa przegródka dostaje C(n, n/2) ÷ 2ⁿ kulek. Od ilu rzędów to mniej niż 10 %?

Hypnotic Patterns · hypnoticpatterns.doner.cloud/pl/pattern/galton-board · do wolnego druku i użytku w klasie
Odpowiedzi · dla nauczyciela

Deska Galtona: porządek z przypadkowych odbić

Start

  1. Deska ma 3 rzędy. Narysuj każdą drogę lewo/prawo, którą może przejść kulka. Ile ich jest?

    2 × 2 × 2 = 8 dróg.

  2. Ile z 8 dróg kończy się w każdej z 4 przegródek?

    1, 3, 3, 1: jedna droga do każdego brzegu, trzy do każdej środkowej przegródki.

  3. Jaka jest szansa, że kulka wpadnie do jednej z dwóch środkowych przegródek?

    6 ÷ 8 = 75 %.

Główny

  1. Ile różnych dróg może przejść jedna kulka przy 10 rzędach?

    2¹⁰ = 1024.

  2. Ile z nich kończy się w środkowej przegródce (dokładnie 5 odbić w prawo)?

    C(10, 5) = 252.

  3. Jaka jest szansa środkowej przegródki?

    252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.

  4. Jaka jest szansa jednej z dwóch skrajnych przegródek?

    2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.

  5. Ile mniej więcej z 1000 kulek wpadnie do przegródek 4, 5 albo 6?

    (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, więc około 656 kulek.

Wyzwanie

  1. Teraz każdy kołek posyła 60 % kulek w prawo. Która z 10 przegródek jest najbardziej prawdopodobna i z jaką szansą?

    Przegródka 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Środek dzwonu przesuwa się do 10 × 0,6 = 6.

  2. Przy parzystej liczbie rzędów n środkowa przegródka dostaje C(n, n/2) ÷ 2ⁿ kulek. Od ilu rzędów to mniej niż 10 %?

    Od 64 rzędów: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. Dzwon się rozszerza, więc środkowa przegródka dostaje mniejszą część.

Scenariusz lekcji · Liczby i geometria · 15⁠–⁠18 lat · 45 min

Fibonacci w słoneczniku

Cele: uczeń potrafi

  • zobaczyć, jak ułamek obrotu tworzy ramiona;
  • poznać złotą proporcję jako granicę ilorazów liczb Fibonacciego;
  • wyjaśnić, dlaczego złoty kąt równo wypełnia kwiat;

Przed filmem: przewidź

Nasiona kładziemy po kolei, każde obrócone o ten sam kąt względem poprzedniego. Jaki kształt wyjdzie przy pół obrotu (180°)? A przy jednej trzeciej obrotu (120°)?

Film

Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals

Lekcja minuta po minucie

5 minPrzewidywanie: szkice dla 180° i 120°; poproś o zgadnięcie „najlepszego” kąta.
3 minObejrzyjcie Short „Why do sunflowers turn every seed 137.5°?” (po angielsku; obraz mówi sam za siebie).
20 minKarta pracy na trzech poziomach.
10 minRozmowa: pytania niżej.
7 minDemo na żywo: 137,5°, potem 144° i 135° na tablicy; policzcie razem ramiona.

Karta pracy

Start

  1. Jaką częścią pełnego obrotu jest 180°? 120°? 144°? 135°?

    Odpowiedź: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.

  2. Ile prostych ramion daje każdy z tych kątów?

    Odpowiedź: 2, 3, 5 i 8: tyle, ile wynosi mianownik ułamka.

  3. Dlaczego ułamek obrotu zawsze tworzy ramiona?

    Odpowiedź: Po tylu nasionach, ile wynosi mianownik, obroty składają się na całkowitą liczbę obrotów, więc następne nasienie znów trafia na pierwsze ramię.

Główny

  1. Oblicz 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 i 55/34 z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Co zauważasz?

    Odpowiedź: 1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: ilorazy zbliżają się do złotej proporcji φ ≈ 1,618 z obu stron.

  2. Oblicz 360° ÷ φ², gdzie φ = 1,618034.

    Odpowiedź: 360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.

  3. Złoty kąt to 0,381966 obrotu. Pomnóż przez 13, 21 i 34. Jak daleko każdy wynik jest od liczby całkowitej?

    Odpowiedź: 4,9656; 8,0213; 12,9868: 0,034, 0,021 i 0,013 obrotu różnicy. Nasiona oddalone o 21 albo 34 prawie leżą w linii, i stąd biorą się spirale.

Wyzwanie

  1. Wykaż, że 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², korzystając z φ² = φ + 1.

    Odpowiedź: Z φ² = φ + 1 po podzieleniu przez φ: φ = 1 + 1/φ, więc φ − 1 = 1/φ. Wtedy 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².

  2. Dlaczego na słonecznikach widać 21 i 34 spirale, a nie 20 i 30?

    Odpowiedź: Spirale powstają między nasionami, które prawie leżą w linii, a przy złotym kącie są one oddalone o liczbę Fibonacciego: 13, 21, 34, 55…

Do rozmowy

  • Dlaczego roślinie opłaca się nie zostawiać luk między nasionami?
  • Dlaczego żaden ułamek obrotu nie sprawdza się tak dobrze jak złoty kąt?
  • Gdzie jeszcze spotkaliście liczby Fibonacciego?

Podstawa programowa

Punkty podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum i technikum, które ćwiczy ta lekcja, w brzmieniu z zpe.gov.pl (sprawdzone 5 listopada 2026).

  • Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 2: „Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.”
  • Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 1 (Wyzwanie): „Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.”
  • Informatyka, zakres podstawowy, I, pkt 2 d (rozszerzenie: ilorazy w pętli): „obliczania wartości elementów ciągu metodą iteracyjną w tym wartości elementów ciągu Fibonacciego;”

Do wolnego użytku na lekcji. Jeśli się przydało, powiedz o tym innym nauczycielom albo Wesprzyj kanał →

Do wolnego druku i użytku w klasie · Hypnotic Patterns · hypnoticpatterns.doner.cloud/pl/classroom/golden-angle
Karta pracy · Liczby i geometria

Fibonacci w słoneczniku

Imię i nazwisko: Data:

Przed filmem: przewidź

Nasiona kładziemy po kolei, każde obrócone o ten sam kąt względem poprzedniego. Jaki kształt wyjdzie przy pół obrotu (180°)? A przy jednej trzeciej obrotu (120°)?

Start

  1. Jaką częścią pełnego obrotu jest 180°? 120°? 144°? 135°?

  2. Ile prostych ramion daje każdy z tych kątów?

  3. Dlaczego ułamek obrotu zawsze tworzy ramiona?

Główny

  1. Oblicz 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 i 55/34 z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Co zauważasz?

  2. Oblicz 360° ÷ φ², gdzie φ = 1,618034.

  3. Złoty kąt to 0,381966 obrotu. Pomnóż przez 13, 21 i 34. Jak daleko każdy wynik jest od liczby całkowitej?

Wyzwanie

  1. Wykaż, że 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², korzystając z φ² = φ + 1.

  2. Dlaczego na słonecznikach widać 21 i 34 spirale, a nie 20 i 30?

Hypnotic Patterns · hypnoticpatterns.doner.cloud/pl/pattern/golden-angle · do wolnego druku i użytku w klasie
Odpowiedzi · dla nauczyciela

Fibonacci w słoneczniku

Start

  1. Jaką częścią pełnego obrotu jest 180°? 120°? 144°? 135°?

    1/2, 1/3, 2/5, 3/8.

  2. Ile prostych ramion daje każdy z tych kątów?

    2, 3, 5 i 8: tyle, ile wynosi mianownik ułamka.

  3. Dlaczego ułamek obrotu zawsze tworzy ramiona?

    Po tylu nasionach, ile wynosi mianownik, obroty składają się na całkowitą liczbę obrotów, więc następne nasienie znów trafia na pierwsze ramię.

Główny

  1. Oblicz 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 i 55/34 z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Co zauważasz?

    1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: ilorazy zbliżają się do złotej proporcji φ ≈ 1,618 z obu stron.

  2. Oblicz 360° ÷ φ², gdzie φ = 1,618034.

    360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.

  3. Złoty kąt to 0,381966 obrotu. Pomnóż przez 13, 21 i 34. Jak daleko każdy wynik jest od liczby całkowitej?

    4,9656; 8,0213; 12,9868: 0,034, 0,021 i 0,013 obrotu różnicy. Nasiona oddalone o 21 albo 34 prawie leżą w linii, i stąd biorą się spirale.

Wyzwanie

  1. Wykaż, że 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², korzystając z φ² = φ + 1.

    Z φ² = φ + 1 po podzieleniu przez φ: φ = 1 + 1/φ, więc φ − 1 = 1/φ. Wtedy 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².

  2. Dlaczego na słonecznikach widać 21 i 34 spirale, a nie 20 i 30?

    Spirale powstają między nasionami, które prawie leżą w linii, a przy złotym kącie są one oddalone o liczbę Fibonacciego: 13, 21, 34, 55…

Scenariusz lekcji · Arytmetyka reszt z dzielenia · 13⁠–⁠18 lat · 45 min

Tabliczka mnożenia na okręgu

Cele: uczeń potrafi

  • liczyć na resztach z dzielenia (arytmetyka modularna);
  • narysować kardioidę jako obwiednię prostych;
  • powiązać mnożnik z liczbą ostrzy;

Przed filmem: przewidź

Dziesięć punktów na okręgu ma numery od 0 do 9. Każdy punkt n łączymy z punktem 2n, a po 9 liczymy od 0. Z którym punktem łączy się 7?

Film

One Multiplication Rule Draws Every Shape — 200 Dots on a Circle · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/one-multiplication-rule-draws-every-shape

Lekcja minuta po minucie

5 minPrzewidywanie na tablicy z dziesięcioma punktami; ustalcie, że 7 łączy się z 4, bo 14 − 10 = 4.
3 minObejrzyjcie film „One Multiplication Rule Draws Every Shape” (tytuł po angielsku, bez mówienia).
20 minKarta pracy; uczniowie na poziomie Start rysują okrąg z dziesięcioma punktami ręcznie.
10 minRozmowa: pytania niżej.
7 minDemo na żywo: razy 2, 3, 4, potem 101 przy 200 punktach.

Karta pracy

Start

  1. Przy 10 punktach i mnożeniu razy 2 wypisz, dokąd idzie każdy punkt od 0 do 9.

    Odpowiedź: 0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.

  2. Narysuj dziesięć odcinków. Do których punktów dochodzą dwa odcinki?

    Odpowiedź: Do 2, 4, 6 i 8 dochodzą po dwa: na przykład 1 i 6 idą do 2. Do punktu 0 dochodzi jeden, z 5, bo 0 idzie sam w siebie.

Główny

  1. Przy 200 punktach i mnożeniu razy 2 dokąd idą punkty 150 i 199?

    Odpowiedź: 300 − 200 = 100 i 398 − 200 = 198.

  2. Przy 200 punktach które punkty przechodzą same w siebie przy mnożeniu razy 2? A razy 3?

    Odpowiedź: Razy 2: tylko punkt 0, bo 2n = n wymaga n = 0. Razy 3: punkty 0 i 100, bo 2n musi być równe 0 albo 200.

  3. Ile ostrzy dają razy 2, razy 3 i razy 4?

    Odpowiedź: 1, 2 i 3: kardioida, nefroida i krzywa z trzema ostrzami, zawsze k − 1.

Wyzwanie

  1. Przy 200 punktach wykaż, że razy 101 wysyła każdy parzysty punkt w niego samego, a każdy nieparzysty na przeciwną stronę.

    Odpowiedź: 101n = 100n + n. Dla parzystego n liczba 100n jest wielokrotnością 200, więc punkt zostaje n. Dla nieparzystego n liczba 100n daje resztę 100, więc punkt to n + 100: pół okręgu dalej.

  2. Co narysuje razy 201 przy 200 punktach i dlaczego?

    Odpowiedź: Nic: 201n = 200n + n, więc każdy punkt idzie sam w siebie, a każdy odcinek ma długość zero.

Do rozmowy

  • Dlaczego proste odcinki wyglądają jak krzywa?
  • Dlaczego liczy się tylko reszta z dzielenia przez 200?
  • Co narysuje razy 202?

Podstawa programowa

Punkty podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum i technikum, które ćwiczy ta lekcja, w brzmieniu z zpe.gov.pl (sprawdzone 5 listopada 2026).

  • Matematyka, I. Liczby rzeczywiste, zakres podstawowy, pkt 2 (Wyzwanie): „przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia […]”
  • Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 2: „Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.”
  • Informatyka, zakres podstawowy, II, pkt 1 (gdy klasa uruchamia skrypt z kursu): „projektuje i programuje rozwiązania problemów z różnych dziedzin, stosując: instrukcje wejścia/wyjścia, wyrażenia arytmetyczne i logiczne, instrukcje warunkowe, instrukcje iteracyjne, funkcje z parametrami i bez parametrów, testuje poprawność programów dla różnych danych […]”

Do wolnego użytku na lekcji. Jeśli się przydało, powiedz o tym innym nauczycielom albo Wesprzyj kanał →

Do wolnego druku i użytku w klasie · Hypnotic Patterns · hypnoticpatterns.doner.cloud/pl/classroom/times-table
Karta pracy · Arytmetyka reszt z dzielenia

Tabliczka mnożenia na okręgu

Imię i nazwisko: Data:

Przed filmem: przewidź

Dziesięć punktów na okręgu ma numery od 0 do 9. Każdy punkt n łączymy z punktem 2n, a po 9 liczymy od 0. Z którym punktem łączy się 7?

Start

  1. Przy 10 punktach i mnożeniu razy 2 wypisz, dokąd idzie każdy punkt od 0 do 9.

  2. Narysuj dziesięć odcinków. Do których punktów dochodzą dwa odcinki?

Główny

  1. Przy 200 punktach i mnożeniu razy 2 dokąd idą punkty 150 i 199?

  2. Przy 200 punktach które punkty przechodzą same w siebie przy mnożeniu razy 2? A razy 3?

  3. Ile ostrzy dają razy 2, razy 3 i razy 4?

Wyzwanie

  1. Przy 200 punktach wykaż, że razy 101 wysyła każdy parzysty punkt w niego samego, a każdy nieparzysty na przeciwną stronę.

  2. Co narysuje razy 201 przy 200 punktach i dlaczego?

Hypnotic Patterns · hypnoticpatterns.doner.cloud/pl/pattern/times-table · do wolnego druku i użytku w klasie
Odpowiedzi · dla nauczyciela

Tabliczka mnożenia na okręgu

Start

  1. Przy 10 punktach i mnożeniu razy 2 wypisz, dokąd idzie każdy punkt od 0 do 9.

    0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.

  2. Narysuj dziesięć odcinków. Do których punktów dochodzą dwa odcinki?

    Do 2, 4, 6 i 8 dochodzą po dwa: na przykład 1 i 6 idą do 2. Do punktu 0 dochodzi jeden, z 5, bo 0 idzie sam w siebie.

Główny

  1. Przy 200 punktach i mnożeniu razy 2 dokąd idą punkty 150 i 199?

    300 − 200 = 100 i 398 − 200 = 198.

  2. Przy 200 punktach które punkty przechodzą same w siebie przy mnożeniu razy 2? A razy 3?

    Razy 2: tylko punkt 0, bo 2n = n wymaga n = 0. Razy 3: punkty 0 i 100, bo 2n musi być równe 0 albo 200.

  3. Ile ostrzy dają razy 2, razy 3 i razy 4?

    1, 2 i 3: kardioida, nefroida i krzywa z trzema ostrzami, zawsze k − 1.

Wyzwanie

  1. Przy 200 punktach wykaż, że razy 101 wysyła każdy parzysty punkt w niego samego, a każdy nieparzysty na przeciwną stronę.

    101n = 100n + n. Dla parzystego n liczba 100n jest wielokrotnością 200, więc punkt zostaje n. Dla nieparzystego n liczba 100n daje resztę 100, więc punkt to n + 100: pół okręgu dalej.

  2. Co narysuje razy 201 przy 200 punktach i dlaczego?

    Nic: 201n = 200n + n, więc każdy punkt idzie sam w siebie, a każdy odcinek ma długość zero.

Scenariusz lekcji · Geometria i prawdopodobieństwo · 14⁠–⁠18 lat · 45 min

Gra w chaos: fraktal z przypadku

Cele: uczeń potrafi

  • wyznaczać środki odcinków na współrzędnych;
  • opisać trójkąt Sierpińskiego i jego samopodobieństwo;
  • zobaczyć, jak losowa reguła może dać dokładny kształt;

Przed filmem: przewidź

Wybierz losowo jeden z wierzchołków trójkąta, skocz w połowę drogi do niego, zaznacz to miejsce i powtórz tysiące razy. Wyjdzie przypadkowa chmura czy coś innego?

Film

Pure Randomness Draws a Perfect Fractal — The Chaos Game · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/pure-randomness-draws-a-perfect-fractal

Lekcja minuta po minucie

5 minPrzewidywanie; potem każdy robi ręcznie pięć skoków z kostką na wydrukowanym trójkącie.
3 minObejrzyjcie film „Pure Randomness Draws a Perfect Fractal” (tytuł po angielsku, bez mówienia).
20 minKarta pracy na trzech poziomach.
10 minRozmowa: pytania niżej.
7 minDemo na żywo: kwadrat z ograniczeniem i bez, potem pięciokąt przy 0,618.

Karta pracy

Start

  1. Wierzchołki to A (0; 0), B (8; 0) i C (4; 8). Zacznij w (4; 4) i skocz w połowę drogi do A, potem do C, potem do B, potem do C. Zapisz każdy punkt.

    Odpowiedź: (2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).

  2. Jak znaleźć punkt w połowie drogi między dwoma punktami?

    Odpowiedź: Weź średnią wartości x i średnią wartości y.

Główny

  1. Każdy etap trójkąta Sierpińskiego usuwa środkową ćwiartkę każdego trójkąta. Jaka część pola zostaje po 1, 2 i 5 etapach?

    Odpowiedź: 3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.

  2. Ile małych trójkątów jest po 5 etapach?

    Odpowiedź: 3⁵ = 243.

  3. Każdy skok zmniejsza o połowę odległość od fraktala. Jaka część początkowej odległości zostaje po 10 skokach?

    Odpowiedź: (1/2)¹⁰ = 1/1024, około jednej tysięcznej.

Wyzwanie

  1. Trójkąt Sierpińskiego składa się z 3 swoich kopii o połowę mniejszych. Jego wymiar d spełnia 2ᵈ = 3. Znajdź d.

    Odpowiedź: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: więcej niż linia (1), mniej niż wypełniony trójkąt (2).

  2. Zagraj w kwadracie ze skokami o połowę drogi. Dlaczego punkty po prostu wypełniają kwadrat?

    Odpowiedź: Cztery kopie kwadratu o połowę mniejsze wypełniają kwadrat dokładnie, bez luk, więc kształtem, którego reguła nie zmienia, jest cały kwadrat.

Do rozmowy

  • Jak losowe wybory mogą dać kształt, który za każdym razem jest dokładnie taki sam?
  • Co się zmienia, jeśli nigdy nie wybierasz dwa razy z rzędu tego samego wierzchołka?
  • Gdzie w przyrodzie widać kształty złożone z mniejszych kopii siebie?

Podstawa programowa

Punkty podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum i technikum, które ćwiczy ta lekcja, w brzmieniu z zpe.gov.pl (sprawdzone 5 listopada 2026).

  • Matematyka, VI. Ciągi, zakres podstawowy, pkt 6: „stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;”
  • Matematyka, VI. Ciągi, zakres podstawowy, pkt 4: „sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;”
  • Matematyka, wymagania ogólne, IV. Rozumowanie i argumentacja, 2: „Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.”
  • Informatyka, zakres rozszerzony, I–II, pkt 1 j (rozszerzenie: skrypt z kursu): „rekurencyjnego tworzenia fraktali;”

Do wolnego użytku na lekcji. Jeśli się przydało, powiedz o tym innym nauczycielom albo Wesprzyj kanał →

Do wolnego druku i użytku w klasie · Hypnotic Patterns · hypnoticpatterns.doner.cloud/pl/classroom/chaos-game
Karta pracy · Geometria i prawdopodobieństwo

Gra w chaos: fraktal z przypadku

Imię i nazwisko: Data:

Przed filmem: przewidź

Wybierz losowo jeden z wierzchołków trójkąta, skocz w połowę drogi do niego, zaznacz to miejsce i powtórz tysiące razy. Wyjdzie przypadkowa chmura czy coś innego?

Start

  1. Wierzchołki to A (0; 0), B (8; 0) i C (4; 8). Zacznij w (4; 4) i skocz w połowę drogi do A, potem do C, potem do B, potem do C. Zapisz każdy punkt.

  2. Jak znaleźć punkt w połowie drogi między dwoma punktami?

Główny

  1. Każdy etap trójkąta Sierpińskiego usuwa środkową ćwiartkę każdego trójkąta. Jaka część pola zostaje po 1, 2 i 5 etapach?

  2. Ile małych trójkątów jest po 5 etapach?

  3. Każdy skok zmniejsza o połowę odległość od fraktala. Jaka część początkowej odległości zostaje po 10 skokach?

Wyzwanie

  1. Trójkąt Sierpińskiego składa się z 3 swoich kopii o połowę mniejszych. Jego wymiar d spełnia 2ᵈ = 3. Znajdź d.

  2. Zagraj w kwadracie ze skokami o połowę drogi. Dlaczego punkty po prostu wypełniają kwadrat?

Hypnotic Patterns · hypnoticpatterns.doner.cloud/pl/pattern/chaos-game · do wolnego druku i użytku w klasie
Odpowiedzi · dla nauczyciela

Gra w chaos: fraktal z przypadku

Start

  1. Wierzchołki to A (0; 0), B (8; 0) i C (4; 8). Zacznij w (4; 4) i skocz w połowę drogi do A, potem do C, potem do B, potem do C. Zapisz każdy punkt.

    (2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).

  2. Jak znaleźć punkt w połowie drogi między dwoma punktami?

    Weź średnią wartości x i średnią wartości y.

Główny

  1. Każdy etap trójkąta Sierpińskiego usuwa środkową ćwiartkę każdego trójkąta. Jaka część pola zostaje po 1, 2 i 5 etapach?

    3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.

  2. Ile małych trójkątów jest po 5 etapach?

    3⁵ = 243.

  3. Każdy skok zmniejsza o połowę odległość od fraktala. Jaka część początkowej odległości zostaje po 10 skokach?

    (1/2)¹⁰ = 1/1024, około jednej tysięcznej.

Wyzwanie

  1. Trójkąt Sierpińskiego składa się z 3 swoich kopii o połowę mniejszych. Jego wymiar d spełnia 2ᵈ = 3. Znajdź d.

    d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: więcej niż linia (1), mniej niż wypełniony trójkąt (2).

  2. Zagraj w kwadracie ze skokami o połowę drogi. Dlaczego punkty po prostu wypełniają kwadrat?

    Cztery kopie kwadratu o połowę mniejsze wypełniają kwadrat dokładnie, bez luk, więc kształtem, którego reguła nie zmienia, jest cały kwadrat.